As questões de números 10 a 16 referem-se à função f definida por f(x)=\frac{x-1}{x^{2}}.
A segunda derivada da função f é:
a) \frac{-2 x+2}{x^{4}}
b) \frac{2 x-6}{x^{4}}
c) \frac{-2 x+6}{x^{4}}
d) \frac{2 x-2}{x^{4}}
е) \frac{2 x-6}{x^{8}}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{x-1}{x^{2}}
e pede a segunda derivada f''(x). Vamos usar as regras de derivação de potências (convertendo em x^n) para calcular f' e em seguida derivar de novo para obter f''.

Passo 2

Reescrevemos f(x) em potências de x:
f(x)=\frac{x}{x^2}-\frac{1}{x^2}=x^{-1}-x^{-2}.

Passo 3

Derivando uma vez,
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{-1}\bigr)-\frac{d}{dx}\bigl(x^{-2}\bigr) =-1\cdot x^{-2}-(-2)\cdot x^{-3} =-x^{-2}+2x^{-3}
e, colocando sobre denominador comum x^3:
f'(x)=\frac{-x+2}{x^3}=\frac{2 - x}{x^3}.

Passo 4

Derivando pela segunda vez,
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(-x^{-2}+2x^{-3}\bigr) =2\cdot x^{-3}-6\cdot x^{-4} =-6x^{-4}+2x^{-3}.
Colocando sobre x^4:
f''(x)=\frac{-6+2x}{x^4}=\frac{2x-6}{x^4}.

Resposta

b) \displaystyle \frac{2x-6}{x^4}

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