As questões de números 10 a 16 referem-se à função f definida por f(x)=\frac{x-1}{x^{2}}.
Sobre o crescimento e decrescimento da função f, podemos afirmar que:
a) f é decrescente no intervalo [2,+\infty) e crescente no intervalo (-\infty, 2].
b) f é crescente no intervalo [2,+\infty) e decrescente no intervalo (-\infty, 2].
c) f é crescente no intervalo ( 0,2 ] e decrescente nos intervalos (-\infty, 0) e [2,+\infty).
d) f é decrescente no intervalo ( 0,2 ] e crescente nos intervalos (-\infty, 0) e [2,+\infty).
e) f é crescente no intervalo [-2,0) e decrescente nos intervalos (-\infty,-2] e (0,+\infty).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x) = \frac{x - 1}{x^{2}}
e pede onde ela cresce ou decresce. O conteúdo é monotonicidade de função, que vamos determinar calculando a derivada f'(x) e estudando seu sinal nos intervalos da função (o domínio é \mathbb{R}\setminus\{0\}).

Passo 2

Reescrevendo
f(x)=\frac{x-1}{x^{2}} = x^{-1} - x^{-2},
temos
f'(x) = -\,x^{-2} + 2\,x^{-3} = \frac{-x + 2}{x^{3}} = \frac{2 - x}{x^{3}}.

Passo 3

Para estudar o sinal de f'(x)=\tfrac{2 - x}{x^{3}}, analisamos numerador e denominador:
  • Numerador 2 - x>0 se e só se x<2, 2 - x=0 em x=2, e 2 - x<0 se x>2.
  • Denominador x^{3}>0 quando x>0 e x^{3}<0 quando x<0.
Assim:
  1. Para x>0: denom >0, logo \sgn f'(x)=\sgn(2 - x). Daí f'(x)>0 em 0<x<2 (crescente) e f'(x)<0 em x>2 (decrescente).
  2. Para x<0: denom <0, mas numerador 2-x>0 para todo x<0, logo f'(x)<0 em todo (-\infty,0) (decrescente).
Concluímos que f é decrescente em (-\infty,0), crescente em (0,2) e decrescente em (2,\infty).

Resposta

c) f é crescente no intervalo (0,2] e decrescente nos intervalos (-\infty,0) e [2,+\infty).

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