As questões de números 10 a 16 referem-se à função
definida por
.
Sobre a concavidade da função
, podemos afirmar que:
a)
é côncava para cima no intervalo
e
é côncava para baixo nos intervalos
e
.
b)
é côncava para baixo no intervalo
e
é côncava para cima nos intervalos
e
.
c)
é côncava para baixo no intervalo
e
é côncava para cima no intervalo
.
d)
é côncava para baixo no intervalo
e
é côncava para cima nos intervalos
e
.
e)
é côncava para cima no intervalo
e
é côncava para baixo nos intervalos
e
.
Sobre a concavidade da função
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado define a função
em todo
e pede os intervalos em que
é côncava para cima ou para baixo. Para isso, vamos calcular a derivada segunda
e analisar seu sinal.
Passo 2
Reescrevemos
e derivamos para achar
:
Passo 3
Agora derivamos
para obter
. Usando a regra do quociente em
, temos
Passo 4
Como
para todo
, o sinal de
é o mesmo de
:
- Se
, então e , logo é côncava para cima. - Se
(incluindo ), então e , logo é côncava para baixo.
Portanto,é côncava para baixo em e em , e côncava para cima em .
Passo 5
Comparando com as opções dadas, a que melhor descreve essa concavidade é a alternativa (a).
Resposta
a)