As questões de números 10 a 16 referem-se à função f definida por f(x)=\frac{x-1}{x^{2}}.
Sobre a concavidade da função f, podemos afirmar que:
a) f é côncava para cima no intervalo [3,+\infty) e f é côncava para baixo nos intervalos (-\infty, 0) e (0,3].
b) f é côncava para baixo no intervalo [3,+\infty) e f é côncava para cima nos intervalos (-\infty, 0) e (0,3].
c) f é côncava para baixo no intervalo (0,+\infty) e f é côncava para cima no intervalo (-\infty, 0).
d) f é côncava para baixo no intervalo (0,3] e f é côncava para cima nos intervalos (-\infty, 0) e [3,+\infty).
e) f é côncava para cima no intervalo (0,3] e f é côncava para baixo nos intervalos (-\infty, 0) e [3,+\infty).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=\frac{x-1}{x^{2}}
em todo x\neq0 e pede os intervalos em que f é côncava para cima ou para baixo. Para isso, vamos calcular a derivada segunda f''(x) e analisar seu sinal.

Passo 2

Reescrevemos
f(x)=\frac{x-1}{x^{2}}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{2}}
e derivamos para achar f'(x):
f'(x)=-\frac{1}{x^{2}}+\frac{2}{x^{3}} =\frac{-x+2}{x^{3}} =\frac{2-x}{x^{3}}.

Passo 3

Agora derivamos f'(x) para obter f''(x). Usando a regra do quociente em \displaystyle f'(x)=\frac{2-x}{x^{3}}, temos
f''(x) =\frac{(-1)\,x^{3}-(2-x)\,3x^{2}}{x^{6}} =\frac{-x^{3}-6x^{2}+3x^{3}}{x^{6}} =\frac{2x^{3}-6x^{2}}{x^{6}} =\frac{2(x-3)}{x^{4}}.

Passo 4

Como x^{4}>0 para todo x\neq0, o sinal de f''(x) é o mesmo de x-3:
  • Se x>3, então x-3>0 e f''(x)>0, logo f é côncava para cima.
  • Se x<3 (incluindo x<0), então x-3<0 e f''(x)<0, logo f é côncava para baixo.
    Portanto, f é côncava para baixo em (-\infty,0) e em (0,3), e côncava para cima em (3,+\infty).

Passo 5

Comparando com as opções dadas, a que melhor descreve essa concavidade é a alternativa (a).

Resposta

a)

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