As questões de números 10 a 16 referem-se à função f definida por f(x)=\frac{x-1}{x^{2}}.
Sobre máximos e mínimos (locais) e pontos de inflexão da função f, podemos afirmar que:
a) f possui um mínimo local em x=0, um máximo local em x=2 e um ponto de inflexão em x=3.
b) f possui um máximo local em x=0, um mínimo local em x=2 e um ponto de inflexão em x=3.
c) f possui um mínimo local em x=2 e um ponto de inflexão em x=3, mas não possui máximo local.
d) f possui um máximo local em x=2 e um ponto de inflexão em x=3, mas não possui mínimo local.
e) f possui um mínimo local em x=0 e um máximo local em x=2, mas não possui ponto de inflexão

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{x-1}{x^2},
definida para x\neq0, e pede para identificar os extremos locais (máximos e mínimos) e pontos de inflexão.
Vamos usar derivadas primeiras para achar e classificar os extremos, e derivada segunda para os pontos de inflexão.

Passo 2

Calcular a derivada primeira. Reescrevendo
f(x)=x^{-1}-x^{-2},
temos
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{-1}\bigr)-\frac{d}{dx}\bigl(x^{-2}\bigr) =-x^{-2}+2x^{-3} =\frac{2-x}{x^3}.

Passo 3

Encontrar pontos críticos e estudar o sinal de f'(x).
Resolvendo f'(x)=0 obtém-se 2-x=0, isto é, x=2. A derivada não existe em x=0, mas esse ponto não pertence ao domínio.
Para o sinal de f'(x)=\frac{2-x}{x^3}:
  • Em 0<x<2: numerador \,2-x>0 e denominador x^3>0, logo f'>0 (função cresce).
  • Em x>2: numerador 2-x<0 e denominador x^3>0, logo f'<0 (função decresce).
  • Em x<0: numerador 2-x>0, denominador x^3<0, logo f'<0 (função decresce).

Passo 4

Classificar o ponto crítico x=2.
Como f' muda de positivo (para x<2) para negativo (para x>2), f tem um máximo local em x=2.
Não há mínimo local em nenhum ponto do domínio.

Passo 5

Calcular a derivada segunda para concavidade. Partindo de
f'(x)=\frac{2-x}{x^3},
temos
f''(x) =\frac{d}{dx}\Bigl((2-x)x^{-3}\Bigr) =\frac{2(x-3)}{x^4}.

Passo 6

Determinar pontos de inflexão. A equação f''(x)=0 x-3=0, logo x=3. Como o denominador x^4>0 não muda de sinal, e f'' passa de negativo (para x<3) a positivo (para x>3), ocorre mudança de concavidade em x=3. Portanto, há um ponto de inflexão em x=3.

Resposta

(d)

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