As questões de números 10 a 16 referem-se à função
definida por
.
Sobre máximos e mínimos (locais) e pontos de inflexão da função
, podemos afirmar que:
a)
possui um mínimo local em
, um máximo local em
e um ponto de inflexão em
.
b)
possui um máximo local em
, um mínimo local em
e um ponto de inflexão em
.
c)
possui um mínimo local em
e um ponto de inflexão em
, mas não possui máximo local.
d)
possui um máximo local em
e um ponto de inflexão em
, mas não possui mínimo local.
e)
possui um mínimo local em
e um máximo local em
, mas não possui ponto de inflexão
Sobre máximos e mínimos (locais) e pontos de inflexão da função
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá a função
definida para
, e pede para identificar os extremos locais (máximos e mínimos) e pontos de inflexão.
Vamos usar derivadas primeiras para achar e classificar os extremos, e derivada segunda para os pontos de inflexão.
Vamos usar derivadas primeiras para achar e classificar os extremos, e derivada segunda para os pontos de inflexão.
Passo 2
Calcular a derivada primeira. Reescrevendo
temos
Passo 3
Encontrar pontos críticos e estudar o sinal de
.
Resolvendo obtém-se
, isto é,
. A derivada não existe em
, mas esse ponto não pertence ao domínio.
Para o sinal de :
Resolvendo
Para o sinal de
- Em
: numerador e denominador , logo (função cresce). - Em
: numerador e denominador , logo (função decresce). - Em
: numerador , denominador , logo (função decresce).
Passo 4
Classificar o ponto crítico
.
Como muda de positivo (para
) para negativo (para
),
tem um máximo local em
.
Não há mínimo local em nenhum ponto do domínio.
Como
Não há mínimo local em nenhum ponto do domínio.
Passo 5
Calcular a derivada segunda para concavidade. Partindo de
temos
Passo 6
Determinar pontos de inflexão. A equação
dá
, logo
. Como o denominador
não muda de sinal, e
passa de negativo (para
) a positivo (para
), ocorre mudança de concavidade em
. Portanto, há um ponto de inflexão em
.
Resposta
(d)