As questões 3. a 5. são referentes à equação diferencial y^prime prime+8 y^prime-9 y=0, de variável independente t >= 0 y1 e y2 são suas soluções linearmente independentes e y=C1 y1+C2 y2 é sua solução geral, para C1 e C2 constantes.
Sejam y(0)=1 e y^prime(0)=alpha suas condições iniciais, qual deve ser o valor de alpha para que y 0 quando t infty ?
(a) -9
(b) -10
© 10
(d) 8
(e) NDA

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a equação diferencial y'' + 8y' - 9y = 0 com condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=alpha. Queremos achar o valor de alpha para que a solução y(t) tenda a zero quando t to infty. O conteúdo é EDO linear homogênea com coeficientes constantes.

Passo 2

Para resolver, montamos a equação característica associada:
r^2 + 8r - 9 = 0

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática, usamos a fórmula de Bhaskara:
r = -8 pm raiz8^2 - 4cdot1cdot(-9)2 = -8 pm 102

Passo 4

Isso dá as raízes r1 = 1 e r2 = -9. A solução geral é combinação linear das soluções básicas:
y(t) = C1 e^t + C2 e^-9t

Passo 5

Derivando, temos
y'(t) = C1 e^t - 9C2 e^-9t

Passo 6

Aplicando as condições iniciais em t=0:
C1 + C2 = 1,
C1 - 9C2 = alpha

Passo 7

Para garantir que y(t)to 0 quando ttoinfty, o termo com e^t deve desaparecer, ou seja, C1 = 0. Então de C1 + C2 = 1 vem C2 = 1. Substituindo em C1 - 9C2 = alpha resulta em alpha = -9.

Resposta

-9

Exercícios relacionados