Resolver as equações seguintes :

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem x + 2y - (2x + y - 5)y' = 4. O conteúdo aqui é resolver uma EDO não-exata que, após uma mudança de variáveis, fica homogênea e separável.

Passo 2

Reescrevemos em forma diferencial:
(2x + y - 5),dy = (x + 2y - 4),dx
e passamos para
(x + 2y - 4),dx - (2x + y - 5),dy = 0
Como não é exata, vamos eliminar as constantes usando a translação linear
u = x - 2, v = y - 1
De modo que
x + 2y - 4 = u + 2v,
2x + y - 5 = 2u + v
Com isso temos
dvdx = u + 2v2u + v,
mas como du/dx = 1, obtemos
dvdu = u + 2v2u + v
Isso é homogêneo em (u,v). Fazemos v = u w, logo
dvdu = w + udwdu = 1 + 2w2 + w
Isolando dw e du e separando variáveis:
udwdu = 1 + 2w2 + w - w = 1 - w^22 + w
integral 2 + w1 - w^2,dw = integral duu
Fazendo frações parciais em
-32ln|1 - w| + 12ln|1 + w| = ln|u| + C
e integrando, obtemos
1 + w(1 - w)^3 = K,u^2
Elevando exponencial e simplificando, chega-se à forma implícita
w = vu = y - 1x - 2,
Voltando às variáveis originais
x + y - 3(x - y - 1)^3 = constante
fica
"]))print(default_api.SolutionSteps(solution_steps=["O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem $x + 2y - (2x + y - 5)y

Resposta

A solução geral implícita é
x + y - 3 = C,(x - y - 1)^3,
onde C é a constante arbitrária.

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