(a) Verifique que se
, então
(b) Conclua que se
, então uma boa aproximação para
é a soma
para
grande o suficiente.
© Verifique que
é o polinômio de Taylor de ordem
de
em torno de 0 .
© Verifique que
Passo 1
O enunciado pede para brincar com somas de potências de t e ver como elas se relacionam com funções racionais, mais especificamente com séries geométricas e polinômio de Taylor. Vamos precisar lembrar da soma de uma progressão geométrica finita, do comportamento do termo de resto quando |t|<1, e da definição de polinômio de Taylor de ordem n em torno de 0.
Passo 2
Para (a), defina S como a soma finita da série geométrica:
Multiplicando ambos os lados por
temos:
Logo,
válido sempre que
.
Passo 3
Para (b), observe que se
, então
quando
. Assim,
Isso mostra que para
grande,
é uma ótima aproximação de
, e o erro é da ordem de
.
Passo 4
Para ©, considere a função
. Pela definição de polinômio de Taylor de ordem
em torno de 0,
Como
temos
Portanto
Isso mostra que o polinômio dado é exatamente o polinômio de Taylor de ordem
de
em torno de 0.
Passo 5
Concluímos assim cada parte do exercício.
Resposta
(a)
, para
.
(b) Se , então
aproxima
com erro
.
© O polinômio
é o polinômio de Taylor de ordem de
em torno de 0.
(b) Se
© O polinômio
é o polinômio de Taylor de ordem