(a) Verifique que se t neq 1, então
1+t+t^2+cdots+t^n=1-t^n+11-t
(b) Conclua que se |t|<1, então uma boa aproximação para 1 /(1-t) é a soma
1+t+t^2+cdots+t^n,
para n grande o suficiente.
© Verifique que
1-t+t^2-t^3+cdots+(-1)^n t^n
é o polinômio de Taylor de ordem n de 1 /(1+t) em torno de 0 .

Passo 1

O enunciado pede para brincar com somas de potências de t e ver como elas se relacionam com funções racionais, mais especificamente com séries geométricas e polinômio de Taylor. Vamos precisar lembrar da soma de uma progressão geométrica finita, do comportamento do termo de resto quando |t|<1, e da definição de polinômio de Taylor de ordem n em torno de 0.

Passo 2

Para (a), defina S como a soma finita da série geométrica:
S = 1 + t + t^2 + cdots + t^n
Multiplicando ambos os lados por 1 - t temos:
(1 - t)S = S - tS = (1 + t + t^2 + cdots + t^n) - (t + t^2 + cdots + t^n+1) = 1 - t^n+1
Logo,
S = 1 - t^n+11 - t,
válido sempre que t neq 1.

Passo 3

Para (b), observe que se |t|<1, então t^n+1 to 0 quando n to infty. Assim,
11 - t = limn to infty l(1 + t + t^2 + cdots + t^nr)
Isso mostra que para n grande,
1 + t + t^2 + cdots + t^n
é uma ótima aproximação de 1/(1 - t), e o erro é da ordem de |t|^n+1/|1 - t|.

Passo 4

Para ©, considere a função f(t) = 1/(1 + t). Pela definição de polinômio de Taylor de ordem n em torno de 0,
Pn(t) = sumk=0^n f^(k)(0)k! , t^k
Como
f^(k)(t) = (-1)^k ; k! ;(1 + t)^-k-1,
temos
f^(k)(0)/k! = (-1)^k
Portanto
Pn(t) = sumk=0^n (-1)^k , t^k = 1 - t + t^2 - t^3 + cdots + (-1)^n t^n
Isso mostra que o polinômio dado é exatamente o polinômio de Taylor de ordem n de 1/(1 + t) em torno de 0.

Passo 5

Concluímos assim cada parte do exercício.

Resposta

(a) 1 + t + t^2 + cdots + t^n = (1 - t^n+1)/(1 - t), para t neq 1.
(b) Se |t|<1, então 1 + t + cdots + t^n aproxima 1/(1 - t) com erro O(t^n+1).
© O polinômio
1 - t + t^2 - t^3 + cdots + (-1)^n t^n
é o polinômio de Taylor de ordem n de 1/(1 + t) em torno de 0.

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