Resolver as equações seguintes :
Passo 1
O objetivo é resolver a EDO
Esse tipo de equação é da forma
e a técnica padrão é fazer uma mudança de variáveis do tipo
para eliminar os termos constantes no numerador e denominador.
Passo 2
Primeiro a gente escolhe
e
de modo que os termos constantes sumam. Escrevendo:
e
de modo que
Resolvendo esse sistema: da segunda
. Substituindo na primeira:
Passo 3
Agora definimos
Como a derivada não muda sob translação,
. Substituindo na EDO original, obtemos uma equação homogênea de grau 1:
Passo 4
Para resolver essa equação homogênea usamos a substituição padrão
Então
Isolando
:
Passo 5
Agora separamos em variáveis:
Repare que o denominador é
e que sua derivada é
. Então
Do outro lado
Passo 6
Igualando as integrais e reorganizando:
Voltando a
v = Y/X :
$$ \Bigl(\frac{Y}{X}\Bigr)^2 +6\frac{Y}{X} -2 = C,X^{-2}.
$$
Multiplicando por
l(YXr)^2 +6YX -2 = C,X^-2 :
Passo 7
Finalmente, retornamos às variáveis originais
x,y . Como
a solução geral fica em forma implícita:
ou, de modo equivalente e absorvendo constantes,
onde
K é a constante arbitrária de integração.
Resposta
A solução geral implícita pode ser escrita como
com
K constante de integração.