Resolver as equações seguintes :

Passo 1

O objetivo é resolver a EDO
y' = 2x - 3y - 13x + y - 2
Esse tipo de equação é da forma
y' = A x + B y + CD x + E y + F
e a técnica padrão é fazer uma mudança de variáveis do tipo
X = x + alpha, Y = y + beta
para eliminar os termos constantes no numerador e denominador.

Passo 2

Primeiro a gente escolhe alpha e beta de modo que os termos constantes sumam. Escrevendo:
2(x+alpha)-3(y+beta)-1 = 2x-3y + (2alpha -3beta -1)
e
3(x+alpha)+(y+beta)-2 = 3x+y + (3alpha+beta -2)
de modo que
2alpha -3beta -1 = 0, 3alpha + beta -2 = 0
Resolvendo esse sistema: da segunda beta = 2 - 3alpha. Substituindo na primeira:
2alpha -3(2-3alpha) -1 =0 implies 2alpha -6 +9alpha -1=0 implies 11alpha =7 implies alpha=tfrac711,
beta = 2 - 3cdottfrac711 = tfrac111

Passo 3

Agora definimos
X = x + tfrac711, Y = y + tfrac111
Como a derivada não muda sob translação, y'=Y'. Substituindo na EDO original, obtemos uma equação homogênea de grau 1:
dYdX = 2X - 3Y3X + Y

Passo 4

Para resolver essa equação homogênea usamos a substituição padrão
v = YX Longrightarrow Y = vX e dYdX = v + XdvdX
Então
v + XdvdX = 2 - 3v3 + v
Isolando dv/dX:
XdvdX = 2 - 3v3 + v - v = 2 -3v - v(3+v)3+v = 2 -6v - v^23+v

Passo 5

Agora separamos em variáveis:
3+v2 -6v - v^2,dv = dXX
Repare que o denominador é -(v^2+6v-2) e que sua derivada é 2v+6=2(v+3). Então
integral 3+v2 -6v - v^2,dv = -integral v+3v^2+6v-2,dv = -12 lnl|v^2+6v-2r| + C
Do outro lado
integral dXX = ln|X| + C'

Passo 6

Igualando as integrais e reorganizando:
-tfrac12 lnl|v^2+6v-2r| = ln|X| +widetilde C Longrightarrow lnl|v^2+6v-2r| = -2ln|X| + C1
v^2+6v-2 = C,X^-2
Voltando a v = Y/X:
$$ \Bigl(\frac{Y}{X}\Bigr)^2 +6\frac{Y}{X} -2 = C,X^{-2}.
$$
Multiplicando por l(YXr)^2 +6YX -2 = C,X^-2 :
X^2

Passo 7

Finalmente, retornamos às variáveis originais x,y. Como
X = x + tfrac711, Y = y + tfrac111,
a solução geral fica em forma implícita:
(y+tfrac111)^2 +6(x+tfrac711)(y+tfrac111) -2(x+tfrac711)^2 = C,
ou, de modo equivalente e absorvendo constantes,
y^2 +6xy -2x^2 +4y -2x = K,
onde K é a constante arbitrária de integração.

Resposta

A solução geral implícita pode ser escrita como
y^2 +6xy -2x^2 +4y -2x = K,
com K constante de integração.

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