Sejam f e g funções diferenciáveis em x tais que f(x)=0 e g(x)=0. Considere as afirmativas a seguir.
a) i. f(g(x)) é diferenciável em x.
b) ii. [f g]^prime=0 em x.
c) iii. f / g é diferenciável em x.
d) Qual das alternativas a seguir indica apenas todas as afirmativas verdadeiras?
e) NDA

Passo 1

O enunciado diz que temos duas funções diferenciáveis em um ponto x tais que f(x)=0 e g(x)=0. O conteúdo envolvido é a diferenciabilidade de composições, produto e quociente, usando as regras da cadeia, do produto e do quociente.

Passo 2

Para (i), a diferenciabilidade de f(g(x)) exige que f seja diferenciável em g(x). Aqui g(x)=0, mas só sabemos que f é diferenciável em x, não necessariamente em 0. Portanto, em geral não dá para garantir que f∘g seja diferenciável em x.

Passo 3

Para (ii), aplicamos a regra do produto:
(f g)'(x)=f'(x)cdot g(x)+f(x)cdot g'(x)
Como f(x)=0 e g(x)=0, segue que
(f g)'(x)=f'(x)cdot0+0cdot g'(x)=0

Passo 4

Para (iii), a regra do quociente só vale se o denominador for não nulo em x. Como g(x)=0, f/g não está nem definida em x e, portanto, não é diferenciável ali.

Resposta

A única afirmativa verdadeira é a ii.

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