Sejam
e
funções diferenciáveis em
tais que
e
. Considere as afirmativas a seguir.
a) i.
é diferenciável em
.
b) ii.
.
c) iii.
é diferenciável em
.
d) Qual das alternativas a seguir indica apenas todas as afirmativas verdadeiras?
e) NDA
a) i.
b) ii.
c) iii.
d) Qual das alternativas a seguir indica apenas todas as afirmativas verdadeiras?
e) NDA
Passo 1
O enunciado diz que temos duas funções diferenciáveis em um ponto x tais que f(x)=0 e g(x)=0. O conteúdo envolvido é a diferenciabilidade de composições, produto e quociente, usando as regras da cadeia, do produto e do quociente.
Passo 2
Para (i), a diferenciabilidade de f(g(x)) exige que f seja diferenciável em g(x). Aqui g(x)=0, mas só sabemos que f é diferenciável em x, não necessariamente em 0. Portanto, em geral não dá para garantir que f∘g seja diferenciável em x.
Passo 3
Para (ii), aplicamos a regra do produto:
Como f(x)=0 e g(x)=0, segue que
Passo 4
Para (iii), a regra do quociente só vale se o denominador for não nulo em x. Como g(x)=0, f/g não está nem definida em x e, portanto, não é diferenciável ali.
Resposta
A única afirmativa verdadeira é a ii.