Refute (prove que é falsa) cada uma das conjecturas abaixo usando algum contraexemplo:
Se d|(m+n), então d|n e d|m
Se d|(m+n), então d|n e d|m
Passo 1
O enunciado dá a seguinte conjectura (que devemos refutar com um contraexemplo): "Se
, então
e
".
Informações relevantes dadas no enunciado que vamos usar: ,
e
são números inteiros (a noção de divisibilidade só faz sentido para inteiros aqui) e a proposição afirma uma implicação que queremos mostrar que é falsa.
A tarefa é fornecer ao menos um contraexemplo — ou seja, encontrar inteiros tais que
seja verdadeiro, mas pelo menos uma das afirmações
ou
seja falsa.
Informações relevantes dadas no enunciado que vamos usar:
A tarefa é fornecer ao menos um contraexemplo — ou seja, encontrar inteiros
Passo 2
Vamos recordar direitinho o que significa “
”.
Definição (explicada devagar): dizemos que “ ” quando existe um inteiro
tal que
Definição (explicada devagar): dizemos que “
Aqui
é o divisor e
é o múltiplo. Por exemplo,
porque
. Se não existe inteiro
com essa propriedade, então “
” é falso — por exemplo,
porque não há inteiro
tal que
.
Passo 3
Estratégia para construir contraexemplo (ideia prática): queremos
e simultaneamente que
não divida
e/ou não divida
. Uma maneira simples é escolher
e
não múltiplos de
, mas cujas classes residuais módulo
somem para um múltiplo de
. Em linguagem simples: pensar em restos da divisão por
. Se
e
e
(ou seja,
se
), então
será múltiplo de
embora
e
não sejam.
Passo 4
Contraexemplo concreto e simples — escolha numérica: tome
,
e
. Verificações passo a passo usando a definição de divisibilidade:
Verificar que
:
e
. Como existe inteiro
tal que
, temos
, logo
é verdadeiro.
Verificar que
:
e não existe inteiro
tal que
(porque
é sempre par). Portanto
, isto é,
.
Verificar que
(simetricamente):
e
por mesma razão.
Conclusão deste exemplo: temos
verdadeiro e simultaneamente
e
, então a conjectura "se
então
e
" é falsa.
Passo 5
Explicação intuitiva do porquê isso não funciona em geral (erro comum): às vezes as pessoas confundem a implicação com sua conversão. É verdade que, se
e
, então
— isso vem de escrever
e
e somar. Mas a implicação inversa não vale sem hipóteses extras: saber que
só nos dá que existe inteiro
com
isso não fornece informações separadas sobre
ou
isoladamente. Para deduzir algo sobre
isoladamente via subtração seria preciso também saber que
(ou que
é múltiplo de
) — sem isso não podemos “cancelar”
.
Passo 6
Família infinita de contraexemplos (como gerar outros): escolha qualquer inteiro
. Escolha um inteiro
com
e defina
. Então ponha
e
. Temos
logo
. Mas
e
, então
e
. Assim para todo
obtemos um contraexemplo com
e
. Exemplo numérico extra:
,
,
dá
mas
e
.
Passo 7
Resumo final e dica de prova na prova: a conjectura proposta é falsa; um contraexemplo explícito é suficiente para refutá‑la. Em provas, se alguém afirmar "se
então
e
", a maneira mais direta de refutar é fornecer um contraexemplo numérico (por exemplo
) ou dar a construção geral acima. Lembre-se: conheça a direção correta das implicações (se
e
então
é verdadeira; o recíproco não).
Resposta
Um contraexemplo:
,
,
. Temos
mas
(portanto a conjectura é falsa).
Família geral: para qualquer e
escolha
,
; então
mas
e
.
Família geral: para qualquer