Refute (prove que é falsa) cada uma das conjecturas abaixo usando algum contraexemplo:
Se d|(m+n), então d|n e d|m

Passo 1

O enunciado dá a seguinte conjectura (que devemos refutar com um contraexemplo): "Se d\mid(m+n), então d\mid n e d\mid m".
Informações relevantes dadas no enunciado que vamos usar: d, m e n são números inteiros (a noção de divisibilidade só faz sentido para inteiros aqui) e a proposição afirma uma implicação que queremos mostrar que é falsa.
A tarefa é fornecer ao menos um contraexemplo — ou seja, encontrar inteiros d,m,n tais que d\mid(m+n) seja verdadeiro, mas pelo menos uma das afirmações d\mid m ou d\mid n seja falsa.

Passo 2

Vamos recordar direitinho o que significa “ a\mid b”.
Definição (explicada devagar): dizemos que “ a\mid b” quando existe um inteiro k tal que
b = a\cdot k.
Aqui a é o divisor e b é o múltiplo. Por exemplo, 3\mid 12 porque 12 = 3\cdot 4. Se não existe inteiro k com essa propriedade, então “ a\mid b” é falso — por exemplo, 3\nmid 10 porque não há inteiro k tal que 10=3k.

Passo 3

Estratégia para construir contraexemplo (ideia prática): queremos d\mid(m+n) e simultaneamente que d não divida m e/ou não divida n. Uma maneira simples é escolher m e n não múltiplos de d, mas cujas classes residuais módulo d somem para um múltiplo de d. Em linguagem simples: pensar em restos da divisão por d. Se m\equiv r\pmod d e n\equiv s\pmod d e r+s\equiv 0\pmod d (ou seja, r+s=d se 0<r,d), então m+n será múltiplo de d embora m e n não sejam.

Passo 4

Contraexemplo concreto e simples — escolha numérica: tome d=2, m=1 e n=1. Verificações passo a passo usando a definição de divisibilidade:
Verificar que d\mid(m+n):
m+n = 1+1 = 2,
e 2 = d\cdot 1. Como existe inteiro 1 tal que 2 = 2\cdot 1, temos 2\mid 2, logo d\mid(m+n) é verdadeiro.
Verificar que d\nmid m:
m = 1,
e não existe inteiro k tal que 1 = 2\cdot k (porque 2k é sempre par). Portanto 2\nmid 1, isto é, d\nmid m.
Verificar que d\nmid n (simetricamente):
n = 1,
e 2\nmid 1 por mesma razão.
Conclusão deste exemplo: temos d\mid(m+n) verdadeiro e simultaneamente d\nmid m e d\nmid n, então a conjectura "se d\mid(m+n) então d\mid n e d\mid m" é falsa.

Passo 5

Explicação intuitiva do porquê isso não funciona em geral (erro comum): às vezes as pessoas confundem a implicação com sua conversão. É verdade que, se d\mid m e d\mid n, então d\mid(m+n) — isso vem de escrever m = d\cdot a e n = d\cdot b e somar. Mas a implicação inversa não vale sem hipóteses extras: saber que d\mid(m+n) só nos dá que existe inteiro t com
m+n = d\cdot t,
isso não fornece informações separadas sobre m ou n isoladamente. Para deduzir algo sobre m isoladamente via subtração seria preciso também saber que d\mid n (ou que n é múltiplo de d) — sem isso não podemos “cancelar” n.

Passo 6

Família infinita de contraexemplos (como gerar outros): escolha qualquer inteiro d\ge 2. Escolha um inteiro r com 1\le r\le d-1 e defina s=d-r. Então ponha m=r e n=s. Temos
m+n = r+(d-r)=d,
logo d\mid(m+n). Mas 0<m<d e 0<n<d, então d\nmid m e d\nmid n. Assim para todo d\ge 2 obtemos um contraexemplo com m=r e n=d-r. Exemplo numérico extra: d=5, m=2, n=3 5\mid(2+3) mas 5\nmid 2 e 5\nmid 3.

Passo 7

Resumo final e dica de prova na prova: a conjectura proposta é falsa; um contraexemplo explícito é suficiente para refutá‑la. Em provas, se alguém afirmar "se d\mid(m+n) então d\mid m e d\mid n", a maneira mais direta de refutar é fornecer um contraexemplo numérico (por exemplo d=2,m=1,n=1) ou dar a construção geral acima. Lembre-se: conheça a direção correta das implicações (se d\mid m e d\mid n então d\mid(m+n) é verdadeira; o recíproco não).

Resposta

Um contraexemplo: d=2, m=1, n=1. Temos 2\mid(1+1) mas 2\nmid 1 (portanto a conjectura é falsa).
Família geral: para qualquer d\ge 2 e 1\le r\le d-1 escolha m=r, n=d-r; então d\mid(m+n) mas d\nmid m e d\nmid n.

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