Nas questões à seguir, assuma a definição: raiz[a]x^b=x^ba e prove os resultados nos reais.
(raiza-raizb)(raiza+raizb)=a-b;

Passo 1

O enunciado pede que provemos, para a,b>=0, que
(raiza-raizb)(raiza+raizb)=a-b
O conteúdo envolve a definição de raízes via potências, ou seja, raiz[x]y=y^1/x, e a propriedade de potências
(x^m)^n = x^m n

Passo 2

Reescrevemos as raízes em forma de potências:
raiza = a^1/2, raizb = b^1/2

Passo 3

Aplicamos a identidade de diferença de quadrados ao produto:
(a^1/2 - b^1/2)(a^1/2 + b^1/2) = (a^1/2)^2 - (b^1/2)^2

Passo 4

Usando a regra (x^m)^n = x^mn, calculamos
(a^1/2)^2 = a^1/2 cdot 2 = a, (b^1/2)^2 = b^1/2 cdot 2 = b
Substituindo no resultado do passo anterior, obtemos
(a^1/2)^2 - (b^1/2)^2 = a - b

Resposta

(raiza-raizb)(raiza+raizb)=a-b

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