Nas questões à seguir, assuma a definição: raiz[a]x^b=x^ba e prove os resultados nos reais.
(a+raizb)(a-raizb)=a^2-b;

Passo 1

O enunciado pede para provar em R que
(a+raizb)(a-raizb) = a^2 - b
sabendo que, em geral,
raiz[a]x^b=x^ba
Aqui vamos usar a definição para escrever raizb como potência e depois expandir o produto notável.

Passo 2

Pela definição com a=2, temos
raizb=raiz[2]b=b^12

Passo 3

Substituindo em (a+raizb)(a-raizb) e expandindo, obtemos
(a + b^12)(a - b^12) = acdot a ;+; acdotl(-b^tfrac12r) ;+; b^tfrac12cdot a ;+; b^tfrac12cdotl(-b^tfrac12r)
Reagrupando, isso é
a^2 ;-; a,b^tfrac12 ;+; a,b^tfrac12 ;-; l(b^tfrac12r)^2
As parcelas -a,b^tfrac12 e +a,b^tfrac12 se cancelam.

Passo 4

Fica então
a^2 - l(b^tfrac12r)^2
Pela propriedade de expoentes,
l(b^tfrac12r)^2 = b^tfrac12cdot2 = b
Logo o resultado é a^2 - b.

Resposta

(a+raizb)(a-raizb) = a^2 - b

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