Nas questões à seguir, assuma a definição: raiz[a]x^b=x^ba e prove os resultados nos reais.
raiz[a]x^b cdot 1raiz[b]x^a=(raiz[ab]x^(b-a))^(a+b).

Passo 1

O enunciado pede provar a identidade
raiz[a]x^b;cdot;1raiz[b]x^a = l(raiz[ab],x^(b-a),r)^(a+b),
sob a definição raiz[a]x^b = x^ba. O conteúdo principal aqui é o uso das regras de potências para reescrever radicais e simplificar expoentes.

Passo 2

Começamos pelo lado esquerdo. Usando raiz[a]x^b=x^ba e raiz[b]x^a=x^ab, obtemos
raiz[a]x^b;cdot;1raiz[b]x^a = x^ba;cdot;x^-ab = x^ba-ab

Passo 3

Agora o lado direito. Primeiro
raiz[ab],x^(b-a), = l(x^,b-ar)^1ab = x^b-aab
Em seguida elevamos ao expoente a+b:
l(raiz[ab],x^(b-a),r)^(a+b) = l(x^b-aabr)^a+b = x^(b-a)(a+b)ab

Passo 4

Basta simplificar o expoente do lado direito:
(b-a)(a+b)ab =b^2 - a^2ab =ba-ab
Portanto
l(raiz[ab],x^(b-a),r)^(a+b) = x^ba-ab,
que coincide exatamente com o resultado do lado esquerdo.

Resposta

raiz[a]x^b;cdot;1raiz[b]x^a = l(raiz[ab],x^(b-a),r)^(a+b)

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