Para as questões a seguir, calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região R em torno do eixo especificado. Em sua resolução, esboce graficamente a região R e o de método a ser empregado no cálculo. A região R é delimitada pelas funções y=x e y=x^2. Considere a revolução b) em torno da reta x=-1.

Passo 1

Temos a região R delimitada pelas curvas y=x^2 e y=x, que se intersectam em x=0 e x=1. Vamos calcular o volume do sólido gerado pela rotação em torno da reta x=-1 usando o método das cascas cilíndricas.

Passo 2

Fazendo um esboço, a região R fica entre as duas curvas de x=0 a x=1 e o eixo de rotação é a reta vertical x=-1. Usaremos cascas verticais de espessura dx.
Para cada xin[0,1], a casca tem raio r = x - (-1) = x+1 e altura h = x - x^2. Logo, o elemento de volume é
dV = 2pi ; r ; h ; dx
Portanto,
V = 2pi integral0^1 (x+1)(x - x^2) , dx

Passo 3

Expandindo o integrando, temos
(x+1)(x - x^2) = x - x^3
Assim,
V = 2pi integral0^1 (x - x^3) , dx

Passo 4

Calculando a integral:
integral0^1 (x - x^3) , dx = gl[x^22 - x^44gr]0^1 = 12 - 14 = 14,
e portanto
V = 2pi cdot 14

Resposta

pi2

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