Seja a in Z,
(i) Se 0 <= a, então -a <= 0;

Passo 1

O enunciado pede para provar que, dado um inteiro a, se
0 <= a
então
-a <= 0
O conteúdo usado será a propriedade de desigualdades em anéis ordenados e o fato de que multiplicar por um número negativo inverte o sentido da desigualdade.

Passo 2

Observamos que -1<0 em Z. Em um anel ordenado, multiplicar uma desigualdade por um elemento negativo faz o sinal trocar de direção. Assim, a partir de
0 <= a
multiplicamos ambos os lados por -1 e invertemos o sentido:

Passo 3

0 cdot (-1) ;>=; a cdot (-1)
Como 0cdot(-1)=0 e acdot(-1)=-a, isso fica
0 >= -a,
o que equivale a
-,a <= 0

Resposta

Portanto, se 0 <= a, então -a <= 0.

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