Nas questões 20-24, suponha que u e v são ortogonais e que suas coordenadas são dadas em relação a um sistema de coordenadas ortogonal.
Se u=(k+1,3,2 k-4) e v=(5,-2, k), qual é o maior possível valor de 2 k?

Passo 1

O enunciado diz que u e v são ortogonais, ou seja, seu produto escalar é zero. As coordenadas são dadas em um sistema ortogonal e valem u=(k+1,3,2k-4) e v=(5,-2,k). Para resolver, vamos usar a definição de produto escalar em R^3.

Passo 2

O produto escalar é
ucdotv = (k+1)cdot 5 + 3cdot(-2) + (2k-4)cdot k
Como exigimos ortogonalidade, impomos
5(k+1) -6 + k(2k-4) = 0
Simplificando:
5k +5 -6 +2k^2 -4k = 0 Longrightarrow 2k^2 + k -1 = 0

Passo 3

Agora resolvemos a equação quadrática
2k^2 + k -1 = 0
O discriminante é De<a = 1^2 -4cdot2cdot(-1) = 1+8 =9, então
k = -1 pm raiz92cdot2 = -1 pm 34,
isto é, k = tfrac12 ou k = -1.

Passo 4

Para cada k calculamos 2k: se k=tfrac12 então 2k=1; se k=-1 então 2k=-2. O maior valor possível de 2k é 1.

Resposta

1

Exercícios relacionados