Seja V=P2. Verifique se os subconjuntos W de V são subespaços. Justifique suas respostas.
W=p(x)=a x^2+b x+c in P2 ; a=0.

Passo 1

O enunciado considera o espaço vetorial V=P2 de todos os polinômios de grau até 2 e define
W = ,p(x)=a x^2+b x+cin P2 mid a=0
Queremos verificar se W é subespaço de V. Para isso, vamos conferir as três propriedades básicas: (i) contenção do polinômio zero, (ii) fechamento em relação à soma e (iii) fechamento em relação à multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o polinômio zero está em W. O polinômio zero em P2 é
0(x)=0cdot x^2+0cdot x+0
em que o coeficiente de x^2 é 0. Logo, 0(x)in W.

Passo 3

Vejamos fechamento sob soma. Sejam
p(x)=0cdot x^2+b1x+c1e q(x)=0cdot x^2+b2x+c2
dois polinômios em W. Então
(p+q)(x) = (0+0)x^2 + (b1+b2)x + (c1+c2) =0cdot x^2 + (b1+b2)x + (c1+c2),
cujo coeficiente de x^2 também é 0. Portanto, p+qin W.

Passo 4

Agora o fechamento sob multiplicação por escalar. Seja lambdainK e
p(x)=0cdot x^2+b x+c
em W. Então
(lambda p)(x) = lambdal(0cdot x^2+b x+cr) =0cdot x^2 + (lambda b)x + (lambda c),
cujo coeficiente de x^2 permanece 0. Logo, lambda pin W.

Resposta

Como W contém o polinômio zero e é fechado sob soma e multiplicação por escalar, concluímos que W é subespaço de V.

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