Seja
. Verifique se os subconjuntos
de
são subespaços. Justifique suas respostas.
.
Passo 1
O enunciado considera o espaço vetorial
de todos os polinômios de grau até 2 e define
Queremos verificar se
é subespaço de
. Para isso, vamos conferir as três propriedades básicas: (i) contenção do polinômio zero, (ii) fechamento em relação à soma e (iii) fechamento em relação à multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos se o polinômio zero está em
. O polinômio zero em
é
em que o coeficiente de
é
. Logo,
.
Passo 3
Vejamos fechamento sob soma. Sejam
dois polinômios em
. Então
cujo coeficiente de
também é
. Portanto,
.
Passo 4
Agora o fechamento sob multiplicação por escalar. Seja
e
em
. Então
cujo coeficiente de
permanece
. Logo,
.
Resposta
Como
contém o polinômio zero e é fechado sob soma e multiplicação por escalar, concluímos que
é subespaço de
.