Para as questões 1 e 2 utilize a definição de limites para responder às questões.
Calcule para as funções abaixo o valor da derivada da função f no ponto x_{0} dado.
f(x)=\operatorname{tg} x, x_{0}=\frac{\pi}{4}.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=\tan x em x_{0}=\tfrac{\pi}{4} usando a definição
f'(x_{0}) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}.

Passo 2

Aplicamos essa definição a f(x)=\tan x, obtendo
f'(x_{0}) = \lim_{h\to 0}\frac{\tan\bigl(x_{0}+h\bigr)-\tan(x_{0})}{h}.
Para avançar, vamos usar a fórmula de soma de tangentes:
\tan(A+B)=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\;\tan B}.

Passo 3

Tomando A=x_{0} e B=h, temos
\tan(x_{0}+h) = \frac{\tan x_{0}+\tan h}{1-\tan x_{0}\,\tan h}.
Logo o numerador da diferença quociente fica
\tan(x_{0}+h)-\tan x_{0} = \frac{\tan x_{0}+\tan h}{1-\tan x_{0}\,\tan h}-\tan x_{0} = \frac{\tan x_{0}+\tan h-\tan x_{0}+\tan^{2}x_{0}\,\tan h}{1-\tan x_{0}\,\tan h} = \frac{(1+\tan^{2}x_{0})\,\tan h}{1-\tan x_{0}\,\tan h}.

Passo 4

Portanto
\frac{\tan(x_{0}+h)-\tan(x_{0})}{h} = \frac{(1+\tan^{2}x_{0})\,\tan h}{h\,(1-\tan x_{0}\,\tan h)}.
Agora substituímos x_{0}=\tfrac{\pi}{4}, sabendo que \tan\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=1:
\frac{\tan\bigl(\tfrac{\pi}{4}+h\bigr)-1}{h} = \frac{(1+1^{2})\,\tan h}{h\,(1-1\cdot\tan h)} = \frac{2\,\tan h}{h\,(1-\tan h)}.

Passo 5

Tomamos o limite h\to0. Sabemos que \lim_{h\to0}\frac{\tan h}{h}=1 e \lim_{h\to0}\tan h=0. Logo
f'\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) = \lim_{h\to0}\frac{2\,\tan h}{h\,(1-\tan h)} = \frac{2\cdot 1}{1-0} =2.

Resposta

O valor da derivada de f(x)=\tan x em x_{0}=\tfrac{\pi}{4} é 2.

Exercícios relacionados