Para as questões 1 e 2 utilize a definição de limites para responder às questões.
Calcule para as funções abaixo o valor da derivada da função f no ponto x_{0} dado.
f(x)=\sqrt{x}, x_{0}=1.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos encontrar a derivada de f(x)=\sqrt{x} no ponto x_{0}=1 usando a definição de derivada por limite.

Passo 2

A definição de derivada de f em x_{0} é
f'(x_{0}) = \lim_{x \to x_{0}} \frac{f(x)-f(x_{0})}{x - x_{0}}.

Passo 3

Substituindo f(x)=\sqrt{x} e f(1)=\sqrt{1}=1, obtemos
f'(1) = \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1}.

Passo 4

Para calcular esse limite, racionalizamos o numerador multiplicando e dividindo por \sqrt{x}+1:
\frac{\sqrt{x}-1}{x-1} \;\times\;\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1} = \frac{x-1}{(x-1)\,(\sqrt{x}+1)} = \frac{1}{\sqrt{x}+1}.

Passo 5

Agora basta avaliar o limite:
f'(1) = \lim_{x \to 1} \frac{1}{\sqrt{x}+1} = \frac{1}{\sqrt{1}+1} = \frac{1}{2}.

Resposta

f'(1)=\tfrac{1}{2}.

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