Para as questões 1 e 2 utilize a definição de limites para responder às questões.
Calcule para as funções abaixo o valor da derivada da função f no ponto x_{0} dado.
f(x)=2^{x}, x_{0}=1.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=2^x em x_{0}=1 usando a definição de derivada por limite. Vamos usar
f'(x_{0}) = \lim_{h\to0} \frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}
e as propriedades de funções exponenciais.

Passo 2

Aplicando a definição em x_{0}=1, temos
f'(1) = \lim_{h\to0} \frac{2^{1+h} - 2^{1}}{h}.

Passo 3

Como 2^{1+h}=2^1\cdot2^h=2\cdot2^h, o numerador fica
2^{1+h}-2 = 2\bigl(2^h-1\bigr),
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f'(1) = \lim_{h\to0} \frac{2\,(2^h-1)}{h} = 2 \lim_{h\to0} \frac{2^h-1}{h}.

Passo 4

Para calcular \displaystyle \lim_{h\to0}\frac{2^h-1}{h}, escrevemos 2^h = e^{h\ln2}. Então, com t=h\ln2,
\frac{2^h-1}{h} = \frac{e^{h\ln2}-1}{h} = \frac{e^{t}-1}{t}\,\ln2
e como \displaystyle\lim_{t\to0}\frac{e^t-1}{t}=1, segue
\lim_{h\to0}\frac{2^h-1}{h} = \ln2.

Passo 5

Voltando a f'(1), obtemos
f'(1) = 2 \,\ln2.

Resposta

f'(1) = 2\ln2.

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