Em Química, as quantidades molares dos componentes de uma reação podem ser determinadas via resolução de sistemas lineares. Considere a reação a seguir:
x1 K2 Cr2 O7+x2 Na2 C2 O4+x3 H2 SO4 longrightarrow x4 K2 SO4+x5 Cr2(SO4)3+x6 Na2 SO4+x7 H2 O+x8 CO2.
De acordo com a Lei de Lavoisier, em uma reação química que ocorre em um recipiente fechado, as quantidades de um mesmo elemento nos reagentes e nos produtos devem ser iguais. Por exemplo, a equação
7 x1+4 x2+4 x3=4 x4+12 x5+4 x6+x7+2 x8
representa a igualdade entre as quantidades de oxigênio nos reagentes (primeiro membro) e nos produtos (segundo membro). Observe que esta é uma equação linear para as variáveis x1, x2, ldots, x8. Uma vez que esta reação envolve sete elementos químicos (Potássio -K , Cromo - Cr, Oxigênio - O, Sódio - Na, Carbono - C, Hidrogênio - H, Enxofre - S), obtemos um sistema linear com sete equações e oito incógnitas. Além disso, de acordo com a Lei de Proust, as massas dos elementos químicos envolvidos nas reações são proporcionais. Portanto, levando isso em consideração, podemos eliminar uma das variáveis deste sistema, fixando um valor para ela. Nesta reação, vamos fixar x8=1.
(a) Encontre as equações do sistema linear correspondente à reação química em questão.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para montar o sistema linear que equilibra a reação
x1K2Cr2O7+x2Na2C2O4+x3H2SO4longrightarrow x4K2SO4+x5Cr2(SO4)3+x6Na2SO4+x7H2O+x8CO2
Conteúdo: conservação de átomos (Lei de Lavoisier) e montagem de equações lineares.
O que precisamos: para cada elemento químico (K, Cr, O, Na, C, H, S) igualar número de átomos em reagentes e produtos. Sabemos que depois vamos fixar , mas por hora só montamos as equações.

Passo 2

Elemento Potássio (K):
– No reagente, cada mol de 2x1=2x4 tem 2 átomos de K, então contribui com .
– No produto, só aparece em , 2 átomos por molécula, isto é .
Aplicando conservação:

Passo 3

Elemento Cromo (Cr):
– Reagente: 2 átomos de Cr em 2x1=2x5 .
– Produto: em também são 2 átomos por mol → .
Conservação:

Passo 4

Elemento Oxigênio (O):
– Reagentes:
7x1+4x2+4x3=4x4+12x5+4x6+x7+2x8 tem 7 átomos → ,
tem 4 átomos → ,
tem 4 átomos → .
– Produtos:
: 4 átomos → ,
: cada SO₄ tem 4 O, e são 3 grupos → 12 átomos → ,
: 4 átomos → ,
: 1 átomo → ,
: 2 átomos → .
Então:

Passo 5

Elemento S (enxofre):
– Reagente: x3=x4+3x5+x6 tem 1 átomo de S → .
– Produtos:
: 1 átomo → ,
: 3 átomos → ,
: 1 átomo → .
Conservação:

Passo 6

Elemento Sódio (Na):
– Reagente: 2x2=2x6 tem 2 Na → .
– Produto: tem 2 Na → .

Passo 7

Elemento Carbono ©:
– Reagente: 2x2=x8 tem 2 C → .
– Produto: tem 1 C → .

Passo 8

Elemento Hidrogênio (H):
– Reagente: 2x3=2x7 tem 2 H → .
– Produto: tem 2 H → .

Resposta

O sistema linear de balanceamento fica:
2x1=2x4, 2x1=2x5, 7x1+4x2+4x3=4x4+12x5+4x6+x7+2x8, x3=x4+3x5+x6, 2x2=2x6, 2x2=x8, 2x3=2x7, com x8=1

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