Sejam
A=[ccc alpha & 3 & 1 alpha & 7 & 1 1 & 6 & 8 ] e b=[l 1 2 3 ]
(b) Tome alpha como sendo o menor número inteiro positivo que satisfaz a condição encontrada no item (a), e faça duas iterações dos Métodos de Gauss-Jacobi e de Gauss-Seidel.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte (b): temos a matriz
A= alpha & 3 & 1 alpha & 7 & 1 1 & 6 & 8 , b=123,
e já sabemos pelo item (a) que precisamos de convergência nos métodos iterativos. O conteúdo aqui é sobre Métodos de Gauss–Jacobi e Gauss–Seidel, e para garantir convergência a gente usa a noção de diagonal dominante (|aᵢᵢ| > soma das outras entradas da linha i). Além disso, vamos fixar o chute inicial
x^(0) = 000
e fazer duas iterações em cada método.

Passo 2

Primeiro, acha α pelo critério de diagonal dominante estrita:
  • Linha 1: boxedalpha = 5 .
  • Linha 2: .
  • Linha 3: , OK sempre.
    Como α é inteiro positivo, a única solução é

Passo 3

Com A=5&3&15&7&11&6&8 , a matriz é
x1^(k+1) = dfrac1 - 3,x2^(k) - 1,x3^(k)5,[6pt] x2^(k+1) = dfrac2 - 5,x1^(k) - 1,x3^(k)7,[6pt] x3^(k+1) = dfrac3 - 1,x1^(k) - 6,x2^(k)8
No método de Jacobi cada componente é atualizada assim:
x^(1)Jacobi = dfrac1-0-05[4pt] dfrac2-0-07[4pt] dfrac3-0-08 =1/52/73/8 approx0,20000,28570,3750
Com , a primeira iteração dá

Passo 4

Segunda iteração Jacobi: usamos somente valores de x1^(2) =1 - 3,(2/7) - (3/8)5 =1 - 6/7 - 3/85 =-13280approx -0,04643, :
x2^(2) =2 - 5,(1/5) - (3/8)7 =2 -1 -3/87 =5/87 =556approx0,08929,
x3^(2) =3 - (1/5) -6,(2/7)8 =38/358 =19140approx0,13571
x^(2)Jacobi approx-0,046430,089290,13571
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Passo 5

No Gauss–Seidel a gente já usa cada nova componente assim que ela aparece. As fórmulas são as mesmas, mas em cada iteração usamos os valores mais atualizados.
Iteração 1, com x1^(1)=1-0-05=1/5, :
x2^(1)=2-5,(1/5)-07=17,
x3^(1)=3-(1/5)-6,(1/7)8 =68/358=1770approx0,24286

Passo 6

Iteração 2 de Gauss–Seidel, usando os x1^(2) =1 - 3,(1/7) - (17/70)5 =23/705 =23350approx0,06571, atualizados na própria iteração:
x2^(2) =2 - 5,(23/350) - (17/70)7 =1049approx0,20408,
x3^(2) =3 - (23/350) -6,(10/49)8 approx0,21373

Resposta

Após duas iterações, com x^(1)approx0,20000,28570,3750, x^(2)approx-0,046430,089290,13571 e chute zero, temos:
Jacobi:
x^(1)approx0,20000,14290,2429, x^(2)approx0,065710,204080,21373
Gauss–Seidel:

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