(b) Tome alpha como sendo o menor número inteiro positivo que satisfaz a condição encontrada no item (a), e faça duas iterações dos Métodos de Gauss-Jacobi e de Gauss-Seidel.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a parte (b): temos a matriz
A= alpha & 3 & 1 alpha & 7 & 1 1 & 6 & 8 , b=123,
e já sabemos pelo item (a) que precisamos de convergência nos métodos iterativos. O conteúdo aqui é sobre Métodos de Gauss–Jacobi e Gauss–Seidel, e para garantir convergência a gente usa a noção de diagonal dominante (|aᵢᵢ| > soma das outras entradas da linha i). Além disso, vamos fixar o chute inicial
x^(0) = 000
e fazer duas iterações em cada método.
Passo 2
Primeiro, acha α pelo critério de diagonal dominante estrita:
Linha 1: boxedalpha = 5 ⇒ .
Linha 2: ⇒ ⇒ .
Linha 3: ⇒ , OK sempre.
Como α é inteiro positivo, a única solução é
No Gauss–Seidel a gente já usa cada nova componente assim que ela aparece. As fórmulas são as mesmas, mas em cada iteração usamos os valores mais atualizados.
Iteração 1, com x1^(1)=1-0-05=1/5, :
x2^(1)=2-5,(1/5)-07=17,
x3^(1)=3-(1/5)-6,(1/7)8 =68/358=1770approx0,24286
Passo 6
Iteração 2 de Gauss–Seidel, usando os x1^(2) =1 - 3,(1/7) - (17/70)5 =23/705 =23350approx0,06571, atualizados na própria iteração: