Considere um método iterativo qualquer para sistemas lineares, definido pela sequência tal que
Pode-se mostrar que, se , então:
esta sequência converge para a solução do sistema linear , partindo de qualquer ponto inicial .
.
(a) Utilizando a desigualdade (star), mostre que uma estimativa do número k de iterações necessárias para garantir que uma solução aproximada do sistema linear A x=b seja encontrada com uma tolerância varepsilon>0 é dada por
Encontre o número mínimo de iterações necessárias para garantir que o Método de Gauss-Jacobi encontre uma solução aproximada deste sistema com uma tolerância varepsilon=10^-6, partindo do ponto inicial x^(0)=[llll0 & 0 & 0 & 0]^T, usando a estimativa obtida no item (a).
Passo 1
Beleza, resumo rápido do que o exercício pede:
Temos um método iterativo para resolver x^(k+1)=P,x^(k)+c dado por
|x^(k)-x^*|;<=;|P|^k1-|P|,|x^(1)-x^(0)| (star)
e sabemos que, se k>ln(1-|P|)+ln(varepsilon)-lnl|x^(1)-x^(0)r|ln(|P|) , então a sequência converge e vale o “erro”
(a) A gente vai usar pra mostrar que, para chegar num erro , basta
(b) Depois aplicar isso ao Método de Gauss-Jacobi de um sistema 4×4, encontrando o , calculando e , e aí botar tudo na fórmula pra e .
Conteúdo: método iterativo, norma de matriz, desigualdade de erro, logaritmo e troca de sinal da desigualdade ao dividir por .
Passo 2
Derivando o item (a): queremos
|x^(k)-x^*|;<=;varepsilon
Pela desigualdade |P|^k1-|P|,|x^(1)-x^(0)|;<=;varepsilon ;Longrightarrow; |P|^k ;<=;(1-|P|),varepsilon|x^(1)-x^(0)| :