25.13a O nitrogénio gasoso é adsorvido no carvão à razão de 0,921 \mathrm{~cm}^{\prime} \mathrm{g}^{-1} a 490 kPa e 190 K . Porém, a 250 K a mesma razão de adsorção só é atingida quando se aumenta a pressão até 3,2 \mathrm{MPa}. Qual é a entalpia de adsorção do nitrogènio no carvão?

Passo 1

O enunciado descreve a adsorção de nitrogénio no carvão numa certa razão de volume adsorvido por grama, obtida a duas condições (p_{1},T_{1}) e (p_{2},T_{2}) que proporcionam a mesma cobertura. Vamos usar a termodinâmica da adsorção (análoga à equação de Clausius–Clapeyron) para estimar a entalpia de adsorção \Delta H_{\text{ads}}, assumida independente da temperatura nesse intervalo.

Passo 2

A relação diferencial entre pressão e temperatura, a cobertura constante, é
\mathrm{d}\ln p \;=\; -\frac{\Delta H_{\text{ads}}}{R}\,\mathrm{d}\!\bigl(\tfrac{1}{T}\bigr),
onde R é a constante dos gases ideais.

Passo 3

Integramos entre (p_{1},T_{1}) e (p_{2},T_{2}):
\ln\frac{p_{2}}{p_{1}} \;=\; -\frac{\Delta H_{\text{ads}}}{R}\,\Bigl(\frac{1}{T_{2}}-\frac{1}{T_{1}}\Bigr).

Passo 4

Identificamos os dados e calculamos cada termo: \displaystyle p_{1}=490\text{ kPa}=0{,}49\text{ MPa},\;T_{1}=190\text{ K}; \displaystyle p_{2}=3{,}2\text{ MPa},\;T_{2}=250\text{ K}.
\ln\frac{p_{2}}{p_{1}} =\ln\!\bigl(\tfrac{3{,}2}{0{,}49}\bigr) =\ln(6{,}5306) \approx1{,}876,
\frac{1}{T_{2}}-\frac{1}{T_{1}} =\frac{1}{250}-\frac{1}{190} =-0{,}001263\;\text{K}^{-1}.

Passo 5

Isolamos \Delta H_{\text{ads}}:
\Delta H_{\text{ads}} =-\,R\;\frac{\ln(p_{2}/p_{1})}{\bigl(\tfrac{1}{T_{2}}-\tfrac{1}{T_{1}}\bigr)} =-8{,}314\;\frac{1{,}876}{-0{,}001263} \approx1{,}235\times10^{4}\text{ J/mol} =12{,}35\text{ kJ/mol}.
Como a adsorção é exotérmica, \Delta H_{\text{ads}}<0.

Resposta

\displaystyle \Delta H_{\text{ads}}\approx -12{,}4\;\text{kJ/mol}.

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