25.14b Numa experiência de adsorção do eteno sobre o ferro, verifica-se que o volume de gás dessorvido em 1856 s a 873 K é igual ao volume dessorvido em 8,44 \mathrm{~s} a 1012 K . Qual é a energia de ativaçāo de dessorção? Em que tempo o volume mencionado de eteno será dessorvido (a) a 298 K , (b) a 1500 K ?

Passo 1

O enunciado trata da dessorção do eteno sobre ferro, onde o mesmo volume de gás é dessorvido em t_1 = 1856 s a T_1 = 873 K e em t_2 = 8,44 s a T_2 = 1012 K. Para resolver precisamos aplicar a cinética de Arrhenius, supondo que, para o mesmo volume dessorvido, a constante de taxa k satisfaz
k_1\,t_1 = k_2\,t_2.
Além disso, usaremos a expressão de Arrhenius
k = A \exp\bigl(-E_a/(R\,T)\bigr),
onde E_a é a energia de ativação e R a constante dos gases.

Passo 2

Da igualdade k_1\,t_1 = k_2\,t_2 segue
\frac{k_1}{k_2} = \frac{t_2}{t_1}.
Pela fórmula de Arrhenius,
\ln\frac{k_1}{k_2} = \ln\frac{t_2}{t_1} = \frac{E_a}{R}\Bigl(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\Bigr).
Isolando E_a, obtemos
E_a = R\;\frac{\ln(t_2/t_1)}{\bigl(1/T_2-1/T_1\bigr)}.

Passo 3

Substituindo t_1 = 1856 s, t_2 = 8,44 s, T_1 = 873 K, T_2 = 1012 K e R = 8{,}314 J\cdot mo l^{-} ^{1}\cdot K^{-}¹:
\ln\frac{t_2}{t_1} = \ln\bigl(8,44/1856\bigr)\approx -5,392,
\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1} = \frac{1}{1012}-\frac{1}{873}\approx -1{,}5735\times10^{-4}\,\text{K}^{-1}.
Logo,
E_a = 8{,}314\;\frac{-5{,}392}{-1{,}5735\times10^{-4}} \approx 2{,}85\times10^{5}\,\text{J\cdotmol}^{-1} = 285\,\text{kJ\cdotmol}^{-1}.

Passo 4

Para achar o tempo t a uma temperatura T que dessorve o mesmo volume, usamos
k(T)\,t = \text{constante} = k(T_1)\,t_1,
ou seja
t = t_1\;\frac{k(T_1)}{k(T)} = t_1\;\exp\!\Bigl[\frac{E_a}{R}\Bigl(\frac{1}{T}-\frac{1}{T_1}\Bigr)\Bigr].
(a) Em T=298 K:
\Delta = \frac{1}{298}-\frac{1}{873}\approx 2{,}209\times10^{-3},
t(298) = 1856\;\exp\bigl[285000/(8{,}314)\times0{,}002209\bigr] \approx 1856\times e^{75,78} \approx 7{,}8\times10^{35}\,\text{s}.
(b) Em T=1500 K:
\Delta = \frac{1}{1500}-\frac{1}{873}\approx -4{,}789\times10^{-4},
t(1500) = 1856\;\exp\bigl[285000/(8{,}314)\times(-4{,}789\times10^{-4})\bigr] \approx 1856\times e^{-16,42} \approx 1{,}4\times10^{-4}\,\text{s}.

Resposta

Energia de ativação: E_a \approx 285 k J\cdot mo l^{-}¹
(a) t(298\\ \mathrm{K}) \approx 7{,}8\times10^{35} s
(b) t(1500\\ \mathrm{K}) \approx 1,4\times10^{-4} s

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