25.1b Calcule a freqüência das colisões moleculares, por centímetro quadrado, na superficie de um vaso contendo (a) nitrogênio, (b) metano, a 25^{\circ} \mathrm{C} quando a pressão é de (i) 10,0 \mathrm{~Pa}, (ii) 0,150 \mu \mathrm{Torr}.

Passo 1

O enunciado pede a frequência de colisões moleculares por centímetro quadrado e por segundo na parede de um vaso que contém (a) nitrogênio e (b) metano, à T=25\,^{\circ}\mathrm{C}=298{,}15 K, para duas pressões: (i) 10{,}0 Pa e (ii) 0{,}150 \muTorr.
O conteúdo necessário é a teoria cinética dos gases:
– o número de moléculas por volume
n = \frac{p}{kT},
onde k=1{,}38\times10^{-23} J/K;
– a velocidade média das moléculas
\bar c = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}},
onde R=8{,}314 J/(mol K) e M é a massa molar;
– a frequência de colisões por área (fluxo)
\varphi = \frac{1}{4}\,n\,\bar c.

Passo 2

Calcular \bar c para cada gás à T=298{,}15 K usando
\bar c = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}.
Para o nitrogênio N_{2}, M=0{,}028\,\mathrm{kg/mol}:
\bar c_{N_{2}} = \sqrt{\frac{8\cdot8{,}314\cdot298{,}15}{\pi\cdot0{,}028}} \approx 4{,}75\times10^{2}\,\mathrm{m/s}.
Para o metano CH_{4}, M=0{,}016\,\mathrm{kg/mol}:
\bar c_{CH_{4}} = \sqrt{\frac{8\cdot8{,}314\cdot298{,}15}{\pi\cdot0{,}016}} \approx 6{,}28\times10^{2}\,\mathrm{m/s}.

Passo 3

Calcular o número de moléculas por metro cúbico em cada pressão:
(i) p=10{,}0 Pa
n = \frac{10{,}0}{1{,}38\times10^{-23}\cdot298{,}15} \approx 2{,}43\times10^{21}\,\mathrm{m^{-3}}.
(ii) p=0{,}150 \muTorr
0{,}150\,\mu\mathrm{Torr}=1{,}50\times10^{-7}\,\mathrm{Torr}, \quad 1\,\mathrm{Torr}=133{,}322\,\mathrm{Pa},
p=1{,}50\times10^{-7}\times133{,}322 \approx 2{,}00\times10^{-5}\,\mathrm{Pa},
n = \frac{2{,}00\times10^{-5}}{1{,}38\times10^{-23}\cdot298{,}15} \approx 4{,}86\times10^{15}\,\mathrm{m^{-3}}.

Passo 4

Para cada caso, aplicar
\varphi = \frac{1}{4}\,n\,\bar c
e converter de \mathrm{m^{-2}s^{-1}} para \mathrm{cm^{-2}s^{-1}} dividindo por 10^{4}.
(a) Nitrogênio
p=10{,}0 Pa:
\varphi = \frac{1}{4}\times2{,}43\times10^{21}\times4{,}75\times10^{2} \approx 2{,}89\times10^{23}\,\mathrm{m^{-2}s^{-1}} \;\rightarrow\; 2{,}89\times10^{19}\,\mathrm{cm^{-2}s^{-1}}.
p=0{,}150 \muTorr:
\varphi = \frac{1}{4}\times4{,}86\times10^{15}\times4{,}75\times10^{2} \approx 5{,}79\times10^{17}\,\mathrm{m^{-2}s^{-1}} \;\rightarrow\; 5{,}79\times10^{13}\,\mathrm{cm^{-2}s^{-1}}.
(b) Metano
p=10{,}0 Pa:
\varphi = \frac{1}{4}\times2{,}43\times10^{21}\times6{,}28\times10^{2} \approx 3{,}82\times10^{23}\,\mathrm{m^{-2}s^{-1}} \;\rightarrow\; 3{,}82\times10^{19}\,\mathrm{cm^{-2}s^{-1}}.
p=0{,}150 \muTorr:
\varphi = \frac{1}{4}\times4{,}86\times10^{15}\times6{,}28\times10^{2} \approx 7{,}64\times10^{17}\,\mathrm{m^{-2}s^{-1}} \;\rightarrow\; 7{,}64\times10^{13}\,\mathrm{cm^{-2}s^{-1}}.

Resposta

(a)(i) 2,89\times10^{19}\,\mathrm{cm^{-2}s^{-1}}
(a)(ii) 5,79\times10^{13}\,\mathrm{cm^{-2}s^{-1}}
(b)(i) 3,82\times10^{19}\,\mathrm{cm^{-2}s^{-1}}
(b)(ii) 7,64\times10^{13}\,\mathrm{cm^{-2}s^{-1}}

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