25.9a Úma certa amostra solida adsorve 0,44 \mathrm{mg} de CO quando a pressão do gas e de 26,0 \mathrm{kPa} e a temperatura, 300 K . A massa do gas adsorvido, quando a precaio é 3,0 \mathrm{kPa} e a temperatura é 300 K , é de 0,19 \mathrm{mg}. A adsorção é descrita pela isoterma de Langmuir. Encontre, em cada pressão, o grau de recobrimento das superticie.

Passo 1

O enunciado diz que uma amostra sólida adsorve 0,44,mg de CO a P_{1}=26,0,kPa e 0,19,mg a P_{2}=3,0,kPa, ambas a T=300,K. A adsorção segue a isoterma de Langmuir, em que a massa adsorvida m e o grau de cobertura \theta estão dados por
m = m_{\mathrm{sat}}\;\frac{K\,P}{1+K\,P},
\theta = \frac{m}{m_{\mathrm{sat}}} = \frac{K\,P}{1+K\,P},
onde K é a constante de Langmuir e m_{\mathrm{sat}} a massa de saturação. Nosso objetivo é usar os dois pares (P_{i},m_{i}) para determinar K e em seguida calcular \theta em cada pressão.

Passo 2

Escrevendo para as duas condições:
m_{1} = m_{\mathrm{sat}}\;\frac{K\,P_{1}}{1+K\,P_{1}}, \quad m_{2} = m_{\mathrm{sat}}\;\frac{K\,P_{2}}{1+K\,P_{2}}.
Dividindo uma equação pela outra, obtemos
\frac{m_{1}}{m_{2}} = \frac{\displaystyle\frac{K\,P_{1}}{1+K\,P_{1}}} {\displaystyle\frac{K\,P_{2}}{1+K\,P_{2}}} = \frac{P_{1}\,(1+K\,P_{2})}{P_{2}\,(1+K\,P_{1})}.
Dessa relação segue-se, com álgebra, que
K \;=\; \frac{m_{2}\,P_{1} \;-\; m_{1}\,P_{2}} {P_{1}\,P_{2}\,\bigl(m_{1}-m_{2}\bigr)}.
Substituindo m_{1}=0,44,mg, P_{1}=26,0,kPa, m_{2}=0,19,mg e P_{2}=3,0,kPa, vêm
K = \frac{0,19\cdot26,0 \;-\; 0,44\cdot3,0} {26,0\cdot3,0\;(0,44-0,19)} = \frac{4,94-1,32}{78\cdot0,25} = \frac{3,62}{19,5} \approx0,1856\;\text{kPa}^{-1}.

Passo 3

Com K em mãos, calculamos
\theta_{1} = \frac{K\,P_{1}}{1+K\,P_{1}} = \frac{0,1856\cdot26,0}{1+0,1856\cdot26,0} = \frac{4,826}{5,826} \approx0,828,
\theta_{2} = \frac{K\,P_{2}}{1+K\,P_{2}} = \frac{0,1856\cdot3,0}{1+0,1856\cdot3,0} = \frac{0,5568}{1,5568} \approx0,358.

Resposta

Em P=26,0,kPa, \theta\approx0,828 (82,8 %).
Em P=3,0,kPa, \theta\approx0,358 (35,8 %).

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