25.7a O tempo médio de permanência de um átomo de oxigênio adsorvido numa superficie de tungstênio é de 0,36 s a 2548 K e de 3,49 sa 2362 K . Encontre a energia de ativação da dessorção. Qual é o fator pré-exponencial da expressão da quimissorção desses átomos fortemente adsorvidos?

Passo 1

O enunciado dá o tempo médio de permanência de átomos de oxigênio adsorvidos na superfície de tungstênio em duas temperaturas diferentes:
- \tau_1 = 0,36\\ \mathrm{s} a T_1 = 2548\\ \mathrm{K}
- \tau_2 = 3,49\\ \mathrm{s} a T_2 = 2362\\ \mathrm{K}
O conteúdo é cinética de dessorção, que segue a lei de Arrhenius para a constante de dessorção k, com
k = A \exp\!\bigl(-\tfrac{E_a}{R\,T}\bigr)
e o tempo de residência \tau = 1/k. Vamos usar isso para encontrar a energia de ativação E_a e o fator pré-exponencial A.

Passo 2

Como \tau = 1/k, temos
\tau = \frac{1}{A} \exp\!\bigl(\tfrac{E_a}{R\,T}\bigr).
Tomando logaritmo natural,
\ln\tau = -\ln A + \frac{E_a}{R\,T}.
Subtraindo as duas equações para \tau_2 e \tau_1 elimina \ln A e dá
\ln\!\bigl(\tfrac{\tau_2}{\tau_1}\bigr) = \frac{E_a}{R}\,\Bigl(\tfrac{1}{T_2}-\tfrac{1}{T_1}\Bigr).
Dessa forma isolamos E_a:

Passo 3

Calculemos cada termo numérico.
\ln\!\bigl(\tfrac{\tau_2}{\tau_1}\bigr) = \ln\!\bigl(\tfrac{3{,}49}{0{,}36}\bigr) \approx 2{,}271,
\tfrac{1}{T_2}-\tfrac{1}{T_1} = \tfrac{1}{2362} - \tfrac{1}{2548} \approx 3{,}085\times10^{-5}\\ \mathrm{K^{-1}}.
Com R = 8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\,K)},
E_a = R \,\frac{\ln(\tau_2/\tau_1)}{\bigl(\tfrac{1}{T_2}-\tfrac{1}{T_1}\bigr)} \approx 8{,}314 \times \frac{2{,}271}{3{,}085\times10^{-5}} \approx 6{,}12\times10^{5}\\ \mathrm{J/mol}.

Passo 4

Agora achamos A a partir de
\ln A = \frac{E_a}{R\,T_1} - \ln\tau_1.
Substituindo E_a\approx6{,}12\times10^{5}\\ \mathrm{J/mol}, T_1=2548\\ \mathrm{K} e \tau_1=0{,}36\\ \mathrm{s}:
\frac{E_a}{R\,T_1} \approx \frac{6{,}12\times10^{5}}{8{,}314\times2548} \approx 28{,}85, \quad \ln\tau_1 = \ln(0{,}36)\approx -1{,}0217,
\ln A = 28{,}85 - (-1{,}0217) = 29{,}87 \quad\Longrightarrow\quad A = e^{29{,}87}\approx 1{,}0\times10^{13}\\ \mathrm{s^{-1}}.

Resposta

Energia de ativação da dessorção:
E_a \approx 6{,}12\times10^{5}\\ \mathrm{J/mol}.
Fator pré-exponencial:
A \approx 1{,}0\times10^{13}\\ \mathrm{s^{-1}}.

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