Determine o pH e a concentração de cada espécie de lisina em uma solução de lisina \cdot \mathrm{HCl}, monocloridrato de lisina, 0,0100 \mathrm{M}. A representação "lisina \cdot \mathrm{HCl} " se refere a uma molécula neutra de lisina que incorporou um próton adicional por meio da adição de um mol de HCl . Uma representação mais adequada explicita o sal, (lisinaH) \left(\mathrm{Cl}^{-}\right), formado na reação.

Passo 1

O enunciado dá uma solução de lisin a\cdot HCl 0,0100 M. A “lisin a\cdot HCl” é o sal (\mathrm{lisH})^+\,\mathrm{Cl}^-, ou seja, a forma monoprotonada da lisina, que chamaremos de \mathrm{H_2L}^+. O problema pede o pH e as concentrações de \mathrm{H_2L}^+, de \mathrm{HL}^0 (zwitteríon) e de \mathrm{L}^- (basičneutro). O conteúdo aplicado será equilíbrio ácido–base de ácido diprótico fraco, usando os pK_a relevantes para as duas dissociações de \mathrm{H_2L}^+.

Passo 2

Identificamos as duas dissociações relevantes a partir de \mathrm{H_2L}^+:
\mathrm{H_2L}^+ \;\rightleftharpoons\; \mathrm{HL}^0 + \mathrm{H}^+,\quad pK_{a1}=8{,}95,
\mathrm{HL}^0 \;\rightleftharpoons\; \mathrm{L}^- + \mathrm{H}^+,\quad pK_{a2}=10{,}53.
Como pK_{a2} é bem maior que pK_{a1}, a segunda dissociação é muito fraca e, para calcular o pH, podemos usar apenas a primeira dissociação de \mathrm{H_2L}^+ como se fosse monoácido com
K_{a1}=10^{-8{,}95}.

Passo 3

Para um ácido fraco monoprotônico de concentração inicial C=0,0100 M e constante K_{a1}, a aproximação clássica dá
[\mathrm{H}^+] \approx \sqrt{C\,K_{a1}} \quad\Longrightarrow\quad \mathrm{pH} \approx \tfrac12\bigl(pK_{a1}-\log C\bigr).

Passo 4

Substituindo pK_{a1}=8{,}95 e C=0{,}0100,
\mathrm{pH}\approx \tfrac12\bigl(8{,}95 - \log 0{,}0100\bigr) = \tfrac12\bigl(8{,}95 - (-2)\bigr) = \tfrac12\cdot10{,}95 =5{,}475,
ou seja,
\mathrm{pH}\approx5{,}48.

Passo 5

Agora obtemos as concentrações de cada espécie. Seja x=[\mathrm{H}^+]=10^{-5{,}475}=3{,}34\times10^{-6} M. Da primeira dissociação:
K_{a1} =\frac{[\mathrm{HL}^0]\,[\mathrm{H}^+]}{[\mathrm{H_2L}^+]} \quad\Longrightarrow\quad \frac{[\mathrm{HL}^0]}{[\mathrm{H_2L}^+]} =\frac{K_{a1}}{[\mathrm{H}^+]} =\frac{10^{-8{,}95}}{3{,}34\times10^{-6}} \approx3{,}35\times10^{-4}.
Denotando [\mathrm{H_2L}^+]=y, temos [\mathrm{HL}^0]=3{,}35\times10^{-4}\,y. A massa total é
y + 3{,}35\times10^{-4}\,y + [\mathrm{L}^-] = 0{,}0100.
Como a segunda dissociação é muito pequena, [\mathrm{L}^-] pode ser desprezado na massa total, e
y(1+3{,}35\times10^{-4}) \approx 0{,}0100 \quad\Longrightarrow\quad y\approx\frac{0{,}0100}{1{,}000335} =9{,}9967\times10^{-3}\,\text{M}.
Logo,
[\mathrm{H_2L}^+]\approx9{,}997\times10^{-3}\,\text{M}, \quad [\mathrm{HL}^0]\approx3{,}35\times10^{-4}\times9{,}997\times10^{-3} =3{,}35\times10^{-6}\,\text{M}.

Passo 6

Por fim, calculamos [\mathrm{L}^-] pela segunda constante K_{a2}:
[\mathrm{L}^-] =\frac{K_{a2}\,[\mathrm{HL}^0]}{[\mathrm{H}^+]} =\frac{10^{-10{,}53}\times3{,}35\times10^{-6}}{3{,}34\times10^{-6}} \approx2{,}95\times10^{-11}\,\text{M}.

Resposta

pH \approx5{,}48 [\mathrm{H_2L}^+]\approx9{,}997\times10^{-3} M [\mathrm{HL}^0]\approx3{,}35\times10^{-6} M [\mathrm{L}^-]\approx2{,}95\times10^{-11} M

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