2.7 A equação constante de Rydberg tem dois termos que variam dependendo da espécie considerada, a massa reduzida do conjunto elétron/núcleo e a carga do núcleo ( Z ).
a. Determine a relação aproximada entre as constantes de Rydberg para os isoeletrônicos \mathrm{He}^{+}(considere o isótopo de hélio-4 mais abundante) e H. As massas dos elétrons, prótons, e do núcleo de \mathrm{He}^{+}( \mathrm{He}^{2+} é uma partícula \alpha ) são dadas na contracapa interna deste livro.
b. Use essa relação para calcular uma constante de Rydberg aproximada (J) para \mathrm{He}^{+}. A diferença entre os orbitais 2 s e 1 s de \mathrm{He}^{+}foi relatada como 329179,76197(20) \mathrm{cm}^{-1}. Calcular a constante de Rydberg do \mathrm{He}^{+}a partir dessa linha espectral, para comparação com o valor obtido em b. (Dados da mesma referência como no Problema 2.6.)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a relação entre a constante de Rydberg de \mathrm{He}^+ e a de H, usando o fato de que
— para um átomo com número atômico Z e massa nuclear M,
— a constante de Rydberg é
R = Z^2\,R_\infty\,\frac{\mu}{m_e},
onde \mu = \frac{m_e\,M}{m_e+M} é a massa reduzida, m_e a massa do elétron e R_\infty a constante de Rydberg no limite de massa infinita.
Em (a) faremos a razão R_{\mathrm{He}^+}/R_{\mathrm H}. Em (b) usaremos essa razão para estimar R_{\mathrm{He}^+} em J e depois compararemos com o valor obtido a partir da linha espectral 2s\to1s.

Passo 2

Expressão geral e razão:
Para o hidrogênio ( Z=1, massa nuclear M_p)
R_{\mathrm H}=1^2\,R_\infty\,\frac{\mu_{\mathrm H}}{m_e} \quad\text{com}\quad \mu_{\mathrm H}=\frac{m_e\,M_p}{m_e+M_p}.
Para \mathrm{He}^+ ( Z=2, massa nuclear M_{\mathrm He})
R_{\mathrm{He}^+}=2^2\,R_\infty\,\frac{\mu_{\mathrm{He}}}{m_e} \quad\text{com}\quad \mu_{\mathrm{He}}=\frac{m_e\,M_{\mathrm He}}{m_e+M_{\mathrm He}}.
Logo,
\frac{R_{\mathrm{He}^+}}{R_{\mathrm H}} =4\;\frac{\mu_{\mathrm{He}}/m_e}{\mu_{\mathrm H}/m_e} =4\;\frac{\mu_{\mathrm{He}}}{\mu_{\mathrm H}}.

Passo 3

Cálculo aproximado das massas reduzidas em unidades de massa atômica u:
\,m_e=0{,}00054858\,u,\;M_p=1{,}007276\,u,\;M_{\mathrm He}=4{,}001506\,u.
Então
\frac{\mu_{\mathrm H}}{m_e} =\frac1{1 + \tfrac{m_e}{M_p}} \approx\frac1{1+0{,}00054858/1{,}007276} =0{,}9994556,
\frac{\mu_{\mathrm{He}}}{m_e} =\frac1{1 + \tfrac{m_e}{M_{\mathrm He}}} \approx\frac1{1+0{,}00054858/4{,}001506} =0{,}9998629.

Passo 4

Razão numérica
\frac{R_{\mathrm{He}^+}}{R_{\mathrm H}} =4\;\frac{0{,}9998629}{0{,}9994556} \approx4{,}00163.

Passo 5

Estimativa de R_{\mathrm{He}^+} em \mathrm{m}^{-1} e em joule:
Usamos
\,R_{\mathrm H}=1{,}0973731568\times10^7\;\mathrm m^{-1}.
Então
R_{\mathrm{He}^+} \approx4{,}00163\times1{,}0973731568\times10^7 =4{,}39010\times10^7\;\mathrm m^{-1}.
Convertendo para energia com hc=1{,}98644586\times10^{-25}\;\mathrm{J\cdot m}:
E_{\mathrm{Ryd},\mathrm{He}^+} =hc\,R_{\mathrm{He}^+} \approx1{,}98644586\times10^{-25}\times4{,}39010\times10^7 =8{,}723\times10^{-18}\;\mathrm J.

Passo 6

Constante de Rydberg de \mathrm{He}^+ a partir da linha 2s\to1s:
A diferença de energia espectral é
\Delta\tilde\nu=329\,179{,}76197\;\mathrm{cm}^{-1} =3{,}2917976197\times10^7\;\mathrm m^{-1}.
Como
\Delta\tilde\nu=R_{\mathrm{He}^+}\bigl(\tfrac1{1^2}-\tfrac1{2^2}\bigr) =\tfrac34\,R_{\mathrm{He}^+}, temos
R_{\mathrm{He}^+} =\frac{\Delta\tilde\nu}{3/4} =\frac{3{,}2917976197\times10^7}{0{,}75} =4{,}38906\times10^7\;\mathrm m^{-1}.
Convertendo em energia:
E_{\mathrm{Ryd},\mathrm{He}^+}^{\rm (esp)} =hc\times4{,}38906\times10^7 \approx8{,}721\times10^{-18}\;\mathrm J.

Resposta

Relação aproximada:
\frac{R_{\mathrm{He}^+}}{R_{\mathrm H}}\approx4{,}00163.
Constante de Rydberg de \mathrm{He}^+ estimada em (b):
E_{\mathrm{Ryd},\mathrm{He}^+}\approx8{,}723\times10^{-18}\;\mathrm J.
Constante a partir da linha 2s\to1s:
E_{\mathrm{Ryd},\mathrm{He}^+}^{\rm (esp)}\approx8{,}721\times10^{-18}\;\mathrm J.

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