2.6 Os espectros de emissão de átomo de hidrogênio medidos a partir da coroa solar indicaram que o orbital 4 s mede 102823,8530211 \mathrm{~cm}^{-1} e o orbital 3 s mede 97492,221701 \mathrm{~cm}^{-1}, respectivamente, acima do estado fundamental de 1 s. (Estas energias têm incertezas minúsculas e podem ser tratadas como números exatos para esse problema.) Calcule a diferença de energia (J) entre esses níveis com base nestes dados e compare essa diferença àquela obtida pela equação de Balmer na Seção 2.1.2. Com que precisão a equação de Balmer funciona para o hidrogênio? (Dados de Y. Ralchenko, A. E. Kramida, J. Reader e NIST ASD Team (2011)). NIST Atomic Spectra Database (ver. 4.1.0), [Online]. Disponível em: <http:// physics.nist.gov/asd>. Acesso em: 18 jan. 2012. National Institute of Standards and Technology, Gaithersburg, MD.)

Passo 1

O enunciado fornece os valores de número de onda (em \mathrm{cm^{-1}}) acima do estado fundamental para os orbitais 4s e 3s do hidrogênio, e pede a diferença de energia entre esses níveis em joules. O conteúdo é espectroscopia atômica usando a relação
\Delta E = h c\,\Delta \tilde\nu
onde h é a constante de Planck e c a velocidade da luz, e a comparação será feita com a fórmula de Rydberg–Balmer
\tilde\nu_{\text{teo}} = R_H\Bigl(\tfrac{1}{3^2}-\tfrac{1}{4^2}\Bigr)\,,
com R_H sendo a constante de Rydberg para o hidrogênio.

Passo 2

Calcular a diferença experimental de número de onda em \mathrm{cm^{-1}}:
\Delta \tilde\nu_{\text{exp}} =102823,8530211 - 97492,221701 =5331,6313201\;\mathrm{cm^{-1}}.

Passo 3

Converter para joules usando
\Delta E_{\text{exp}} = h\,c\,\bigl(\Delta \tilde\nu_{\text{exp}}\times 100\bigr)
com h=6,62607015\times10^{-34}\,\mathrm{J\,s} e c=2,99792458\times10^8\,\mathrm{m/s}. Logo,
\Delta E_{\text{exp}} = (6,62607015\times10^{-34})(2,99792458\times10^8)(5331,6313201\times100) \approx1,05907\times10^{-19}\,\mathrm{J}.

Passo 4

Usar a fórmula de Rydberg–Balmer para os níveis n=3 e n=4:
\Delta \tilde\nu_{\text{teo}} =R_H\Bigl(\tfrac{1}{3^2}-\tfrac{1}{4^2}\Bigr) =109677,573\;\mathrm{cm^{-1}}\times\Bigl(\tfrac{1}{9}-\tfrac{1}{16}\Bigr) \approx5331,480\;\mathrm{cm^{-1}}.
Em seguida,
\Delta E_{\text{teo}} = h\,c\,(5331,480\times100) \approx1,05880\times10^{-19}\,\mathrm{J}.

Passo 5

Calcular o erro absoluto e relativo:
\Delta E_{\text{exp}}-\Delta E_{\text{teo}} \approx1,05907\times10^{-19}-1,05880\times10^{-19} =2,7\times10^{-23}\,\mathrm{J},
\text{erro relativo} =\frac{2,7\times10^{-23}}{1,05907\times10^{-19}} \approx2{,}6\times10^{-5}\quad(0{,}0026\%).
Portanto, a equação de Balmer funciona para o hidrogênio com precisão da ordem de 10^{-5}.

Resposta

A diferença de energia experimental é
\Delta E_{\text{exp}}\approx1,05907\times10^{-19}\,\mathrm{J},
a prevista pela fórmula de Balmer é
\Delta E_{\text{teo}}\approx1,05880\times10^{-19}\,\mathrm{J},
e a precisão da equação de Balmer no hidrogênio é cerca de 2{,}6\times10^{-5} (ou 0{,}0026\%).

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