24.6b Estime a constante de velocidade de reação controlada por difusão, a 298 K , para um reagente (a) no decilbenzeno e (b) no ácido sulfúrico concentrado. As viscosidades dos solventes são, respectivamente, 3,36 \mathrm{cP} e 27 cP .

Passo 1

O enunciado pede que a gente estime a constante de velocidade de uma reação controlada por difusão a 298\\ \mathrm{K} em dois solventes de viscosidades diferentes. O conteúdo principal que vamos usar é a expressão de Smoluchowski (para duas espécies reativas) ou, de forma equivalente, a fórmula simplificada
k_{\rm dif} = \frac{8\,R\,T}{3\,\eta}
onde \eta é a viscosidade do meio, R a constante dos gases ideais e T a temperatura.

Passo 2

Vamos explicar por que usamos
k_{\rm dif} = \frac{8\,R\,T}{3\,\eta}\,.
Essa expressão surge ao combinar a lei de Stokes–Einstein para difusão
D = \frac{k_{\rm B}\,T}{6\pi\,\eta\,a}
com a fórmula de Smoluchowski
k = 4\pi\,N_{\!A}\,(D_{A}+D_{B})\,a
e assumindo D_{A}\approx D_{B} e raio de aproximação a típico. O resultado final não depende explicitamente de a quando se reescreve em função de R=N_{\!A}k_{\!B}.

Passo 3

Cálculo em decilbenzeno \eta=3{,}36\\ \mathrm{cP}=3{,}36\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}:
k_{\rm dif} = \frac{8\,R\,T}{3\,\eta} = \frac{8\times8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}\times298\\ \mathrm{K}}{3\times3{,}36\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}} \approx1{,}97\times10^{6}\\ \mathrm{m^{3}\,mol^{-1}\,s^{-1}}.
Convertendo para \mathrm{L\,mol^{-1}\,s^{-1}} (pois 1\\ \mathrm{m^{3}}=10^{3}\\ \mathrm{L}):
k_{\rm dif}^{\rm decilbenz} \approx 1{,}97\times10^{9}\\ \mathrm{L\,mol^{-1}\,s^{-1}}.

Passo 4

Cálculo em ácido sulfúrico concentrado \eta=27\\ \mathrm{cP}=2{,}7\times10^{-2}\\ \mathrm{Pa\cdot s}:
k_{\rm dif} = \frac{8\times8{,}314\times298}{3\times2{,}7\times10^{-2}} \approx2{,}45\times10^{5}\\ \mathrm{m^{3}\,mol^{-1}\,s^{-1}}
k_{\rm dif}^{\rm H_{2}SO_{4}} \approx2{,}45\times10^{8}\\ \mathrm{L\,mol^{-1}\,s^{-1}}.

Passo 5

Note que a maior viscosidade do ácido sulfúrico faz cair a constante em quase uma ordem de grandeza, comparada ao decilbenzeno.

Resposta

(a) k_{\rm dif}\approx1{,}97\times10^{9}\\ \mathrm{L\,mol^{-1}\,s^{-1}}
(b) k_{\rm dif}\approx2{,}45\times10^{8}\\ \mathrm{L\,mol^{-1}\,s^{-1}}

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