18.11 Mostre que, num gás (cujo índice de refração é próximo de 1), o índice de refração depende da pressão na forma
(const.)
e encontre o parâmetro da função linear. Mostre como estimar a polarizabilidade de uma molécula a partir das medidas do índice de refração de uma amostra gasosa.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, em um gás diluído cujo índice de refração
é próximo de 1, existe dependência linear
e que essa constante pode ser expressa em função da polarizabilidade molecular
. Em seguida, devemos explicar como estimar
a partir de medidas de
em função da pressão
. Para isso, vamos usar:
- A relação entre índice de refração e constante dielétrica.
- A relação microscópica entre susceptibilidade elétrica e polarizabilidade molecular.
- A equação de estado dos gases ideais.
Passo 2
Em óptica, vale a relação
onde
é a constante dielétrica relativa do meio. Além disso, definimos a susceptibilidade elétrica
por
Passo 3
Para um gás diluído, a susceptibilidade está ligada à polarizabilidade
e à densidade numérica de moléculas
via o modelo de Lorentz–Lorenz ou, em primeira aproximação,
sendo
a permissividade do vácuo.
Passo 4
Como em gás
, aplicamos a aproximação binomial em
Substituindo
resulta
Passo 5
Pela lei dos gases ideais, a densidade numérica é
onde
é a pressão,
a temperatura absoluta e
a constante de Boltzmann.
Passo 6
Substituindo
em
obtemos
mostrando a dependência linear em
. A “constante” da lei é
ou seja,
Passo 7
Num experimento, mede-se
para várias pressões
a temperatura
conhecida, ajusta-se uma reta
versus
. Da inclinação experimental
extrai-se a polarizabilidade por
Resposta
O índice de refração de um gás diluído varia com a pressão como
e a polarizabilidade molecular
é estimada pela relação