18.11 Mostre que, num gás (cujo índice de refração é próximo de 1), o índice de refração depende da pressão na forma n_{r}=1+ (const.) \times p e encontre o parâmetro da função linear. Mostre como estimar a polarizabilidade de uma molécula a partir das medidas do índice de refração de uma amostra gasosa.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, em um gás diluído cujo índice de refração n_r é próximo de 1, existe dependência linear
n_r = 1 + (\text{constante})\times p
e que essa constante pode ser expressa em função da polarizabilidade molecular \alpha. Em seguida, devemos explicar como estimar \alpha a partir de medidas de n_r em função da pressão p. Para isso, vamos usar:
  1. A relação entre índice de refração e constante dielétrica.
  2. A relação microscópica entre susceptibilidade elétrica e polarizabilidade molecular.
  3. A equação de estado dos gases ideais.

Passo 2

Em óptica, vale a relação
n_r^2 = \varepsilon_r
onde \varepsilon_r é a constante dielétrica relativa do meio. Além disso, definimos a susceptibilidade elétrica \chi_e por
\varepsilon_r = 1 + \chi_e.

Passo 3

Para um gás diluído, a susceptibilidade está ligada à polarizabilidade \alpha e à densidade numérica de moléculas N via o modelo de Lorentz–Lorenz ou, em primeira aproximação,
\chi_e = \frac{N\,\alpha}{\varepsilon_0},
sendo \varepsilon_0 a permissividade do vácuo.

Passo 4

Como em gás \chi_e\ll1, aplicamos a aproximação binomial em
n_r = \sqrt{1 + \chi_e} \approx 1 + \frac{\chi_e}{2}.
Substituindo \chi_e resulta
n_r \approx 1 + \frac{N\,\alpha}{2\,\varepsilon_0}.

Passo 5

Pela lei dos gases ideais, a densidade numérica é
N = \frac{p}{k_B\,T},
onde p é a pressão, T a temperatura absoluta e k_B a constante de Boltzmann.

Passo 6

Substituindo N em n_r obtemos
n_r \approx 1 + \frac{\alpha}{2\,\varepsilon_0}\,\frac{p}{k_B\,T} = 1 + \biggl(\frac{\alpha}{2\,\varepsilon_0\,k_B\,T}\biggr)\,p,
mostrando a dependência linear em p. A “constante” da lei é
m \;=\;\frac{\alpha}{2\,\varepsilon_0\,k_B\,T},
ou seja,
n_r = 1 + m\,p.

Passo 7

Num experimento, mede-se n_r para várias pressões p a temperatura T conhecida, ajusta-se uma reta n_r versus p. Da inclinação experimental
m = \frac{\mathrm{d}n_r}{\mathrm{d}p}
extrai-se a polarizabilidade por
\alpha = 2\,\varepsilon_0\,k_B\,T\,m.

Resposta

O índice de refração de um gás diluído varia com a pressão como
n_r = 1 + \frac{\alpha}{2\,\varepsilon_0\,k_B\,T}\;p,
e a polarizabilidade molecular \alpha é estimada pela relação
\alpha = 2\,\varepsilon_0\,k_B\,T\;\frac{\mathrm{d}n_r}{\mathrm{d}p}.

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