Racionalize a expressão e simplifique.
Passo 1
O enunciado pede para racionalizar e simplificar a expressão
Informações fornecidas:
- A expressão original é
. - Não há outros dados numéricos; devemos manipular algebricamente para eliminar a raiz do numerador e simplificar o resultado.
Passo 2
Antes de manipular, vamos anotar as restrições naturais da expressão (domínio):
- Como aparece
, é necessário que , ou seja . - Como há divisão por
, precisamos .
Portanto, a expressão só faz sentido paracom .
Passo 3
Estratégia para racionalizar o numerador (explicação didática):
- Quando o numerador tem a forma
(aqui e ), uma técnica padrão é multiplicar numerador e denominador pela conjugada . - A razão é usar a identidade produto notável
que elimina as raízes porque resulta em quantidades sem raiz (diferença de quadrados).
- Multiplicar por
é multiplicar por , portanto não altera o valor da expressão, desde que não estejamos anulando o denominador em nenhum passo. Aqui nunca é zero (pois ), então a multiplicação é segura.
Passo 4
Aplicando a multiplicação pelo conjugado:
Passo 5
Calcular o numerador usando diferença de quadrados:
- Identifique
e . - Então
- Simplificando o resultado:
Passo 6
Substituindo no quociente:
Essa é a forma racionalizada do numerador (não há raiz no numerador) e já está simplificada: não existe fator comum que cancele entre numerador e denominador (a menos que um
específico anulasse, mas
é variável e
é excluído do domínio).
Passo 7
Resumo da validade e observações finais (didática rápida):
- A transformação foi equivalente a multiplicar por
na forma , portanto preserva a expressão para todos os em que tudo faz sentido. - Lembrar sempre do domínio:
e . Em particular, sempre, então não houve risco de dividir por zero ao multiplicar pelo conjugado.