Racionalize a expressão e simplifique.
\frac{\sqrt{x+7}-2}{x}

Passo 1

O enunciado pede para racionalizar e simplificar a expressão
\frac{\sqrt{x+7}-2}{x}.
Informações fornecidas:
  • A expressão original é \dfrac{\sqrt{x+7}-2}{x}.
  • Não há outros dados numéricos; devemos manipular algebricamente para eliminar a raiz do numerador e simplificar o resultado.

Passo 2

Antes de manipular, vamos anotar as restrições naturais da expressão (domínio):
  • Como aparece \sqrt{x+7}, é necessário que x+7\ge 0, ou seja x\ge -7.
  • Como há divisão por x, precisamos x\neq 0.
    Portanto, a expressão só faz sentido para x\in[-7,\infty) com x\neq 0.

Passo 3

Estratégia para racionalizar o numerador (explicação didática):
  • Quando o numerador tem a forma \sqrt{A}-B (aqui A=x+7 e B=2), uma técnica padrão é multiplicar numerador e denominador pela conjugada \sqrt{A}+B.
  • A razão é usar a identidade produto notável
(\sqrt{A}-B)(\sqrt{A}+B)=A-B^2,
que elimina as raízes porque resulta em quantidades sem raiz (diferença de quadrados).
  • Multiplicar por \dfrac{\sqrt{A}+B}{\sqrt{A}+B} é multiplicar por 1, portanto não altera o valor da expressão, desde que não estejamos anulando o denominador em nenhum passo. Aqui \sqrt{x+7}+2 nunca é zero (pois \sqrt{x+7}\ge 0), então a multiplicação é segura.

Passo 4

Aplicando a multiplicação pelo conjugado:
\frac{\sqrt{x+7}-2}{x}\cdot\frac{\sqrt{x+7}+2}{\sqrt{x+7}+2} = \frac{(\sqrt{x+7}-2)(\sqrt{x+7}+2)}{x(\sqrt{x+7}+2)}.

Passo 5

Calcular o numerador usando diferença de quadrados:
  • Identifique A=x+7 e B=2.
  • Então
(\sqrt{x+7}-2)(\sqrt{x+7}+2)=(\sqrt{x+7})^2-2^2=(x+7)-4.
  • Simplificando o resultado:
(x+7)-4 = x+3.

Passo 6

Substituindo no quociente:
\frac{(\sqrt{x+7}-2)(\sqrt{x+7}+2)}{x(\sqrt{x+7}+2)} = \frac{x+3}{x(\sqrt{x+7}+2)}.
Essa é a forma racionalizada do numerador (não há raiz no numerador) e já está simplificada: não existe fator comum que cancele entre numerador e denominador (a menos que um x específico anulasse, mas x é variável e x=0 é excluído do domínio).

Passo 7

Resumo da validade e observações finais (didática rápida):
  • A transformação foi equivalente a multiplicar por 1 na forma \dfrac{\sqrt{x+7}+2}{\sqrt{x+7}+2}, portanto preserva a expressão para todos os x em que tudo faz sentido.
  • Lembrar sempre do domínio: x\ge -7 e x\neq 0. Em particular, \sqrt{x+7}+2>0 sempre, então não houve risco de dividir por zero ao multiplicar pelo conjugado.

Resposta

\dfrac{x+3}{x(\sqrt{x+7}+2)} (válido para x\ge -7 e x\neq 0)

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