Racionalize as expressões:
\frac{\sqrt{4+x}-\sqrt{2}}{x}

Passo 1

O enunciado pede para racionalizar a expressão
\frac{\sqrt{4+x}-\sqrt{2}}{x}
ou seja, eliminar a raiz do numerador. Vamos usar o truque de multiplicar por 1 na forma do conjugado do numerador.

Passo 2

Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do numerador, que é \sqrt{4+x}+\sqrt{2}:
\frac{\sqrt{4+x}-\sqrt{2}}{x}\times\frac{\sqrt{4+x}+\sqrt{2}}{\sqrt{4+x}+\sqrt{2}}

Passo 3

Calculamos o produto no numerador e simplificamos o denominador:
(\sqrt{4+x}-\sqrt{2})(\sqrt{4+x}+\sqrt{2}) = (4+x)-2 = x+2,
e o denominador fica
x\bigl(\sqrt{4+x}+\sqrt{2}\bigr).

Passo 4

Portanto, a forma racionalizada da expressão é
\frac{x+2}{x\bigl(\sqrt{4+x}+\sqrt{2}\bigr)}.

Resposta

\frac{x+2}{x\bigl(\sqrt{4+x}+\sqrt{2}\bigr)}

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