Racionalize as expressões e simplifique o resultado:
\frac{4}{2+\sqrt{3}}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: foi dada a expressão \dfrac{4}{2+\sqrt{3}} e a tarefa é “racionalizar” e simplificar o resultado. Informações relevantes:
  • Numerador: \,4.
  • Denominador: \,2+\sqrt{3}.
  • Objetivo: eliminar a raiz do denominador (racionalizar) e deixar a expressão numa forma mais simples.

Passo 2

Ideia para racionalizar: quando o denominador tem a forma \,a+b\sqrt{c}\, a técnica padrão é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador, que é \,a-b\sqrt{c}. Isso funciona porque a multiplicação do número pela conjugado produz uma diferença de quadrados:
(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}.
Aqui podemos identificar a=2 e b=\sqrt{3}. Aplicando a fórmula esperamos que o denominador vire um número racional.

Passo 3

Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado \,2-\sqrt{3}:
\frac{4}{2+\sqrt{3}}\cdot\frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=\frac{4(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}.

Passo 4

Calcular o denominador usando a diferença de quadrados:
(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=2^{2}-(\sqrt{3})^{2}=4-3=1.
Portanto o denominador torna-se \,1.

Passo 5

Calcular o numerador e simplificar pelo denominador 1:
4(2-\sqrt{3})=8-4\sqrt{3}.
Dividindo por 1 não muda o valor, então a forma racionalizada e simplificada é \,8-4\sqrt{3}. Também pode ser escrita fatorada como \,4(2-\sqrt{3}).

Resposta

8-4\sqrt{3}

Exercícios relacionados