Racionalize as expressões e simplifique o resultado:
\frac{3}{\sqrt{5}-2}

Passo 1

O enunciado pede para racionalizar e simplificar a expressão
\frac{3}{\sqrt{5}-2}.
Informações dadas:
  • O numerador é \,3\,.
  • O denominador é \,\sqrt{5}-2\,.
    Objetivo: eliminar a raiz do denominador (racionalizar) e apresentar a forma mais simples possível.

Passo 2

Ideia-chave (truque do conjugado): para eliminar a raiz no denominador quando temos uma diferença do tipo \,a-b\, com a envolvendo raiz, multiplicamos por \,a+b\, (o conjugado). Isso funciona porque
(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2},
que é uma diferença de quadrados sem termos mistos. Aqui tomamos a=\sqrt{5} e b=2.

Passo 3

Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado \,\sqrt{5}+2\, (isso não altera o valor da fração porque multiplicamos por 1):
\frac{3}{\sqrt{5}-2}=\frac{3}{\sqrt{5}-2}\cdot\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}+2}=\frac{3(\sqrt{5}+2)}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)}.

Passo 4

Calculemos o denominador usando a diferença de quadrados:
(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)=(\sqrt{5})^{2}-2^{2}=5-4=1.

Passo 5

Simplifique o numerador e use que o denominador é 1:
3(\sqrt{5}+2)=3\sqrt{5}+6,
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\frac{3(\sqrt{5}+2)}{1}=3\sqrt{5}+6.
Também é legítimo deixar fatorado como \,3(\sqrt{5}+2)\,, ambas as formas são equivalentes.

Resposta

3\sqrt{5}+6

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