Racionalize as fraçöes
b)
b)
Passo 1
O enunciado pede para racionalizar a fração
Informações dadas e observações imediatas:
- A expressão contém
então para estar bem definida precisamos de . -
.
A tarefa é escrever a mesma fração em forma equivalente cujo denominador não contenha raízes (ou seja, semno denominador).
Passo 2
Ideia do método (conjugado): para eliminar raízes no denominador que é uma soma do tipo
, usamos o conjugado, que é
.
Propriedade útil (diferença de quadrados):
Propriedade útil (diferença de quadrados):
ou seja, multiplicando uma soma pelo seu conjugado obtemos a diferença dos quadrados, que normalmente elimina as raízes porque
.
Passo 3
Primeiro simplificamos a constante no denominador:
Agora multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado
(isto é multiplicar por
escrito como
):
Passo 4
Calculamos o denominador usando a diferença de quadrados:
O numerador fica
Portanto obtemos a forma racionalizada
ou, expandindo o numerador,
Passo 5
Nota sobre domínios e equivalência: a expressão original está definida para
e, para esses
,
(portanto o denominador original nunca é zero). Ao multiplicar por
introduzimos uma expressão que não está definida em
(porque aí
), então a forma racionalizada
é algebraicamente equivalente à original para todo
com
. No ponto
a fração original vale
, enquanto a forma racionalizada aparece como indeterminada
. Portanto, quando for preciso especificar igualdade de funções, afirmar equivalência para
.