Racionalize as fraçöes
b) \frac{2}{\sqrt{x}+\sqrt{4}}

Passo 1

O enunciado pede para racionalizar a fração
\frac{2}{\sqrt{x}+\sqrt{4}}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A expressão contém \sqrt{x} então para estar bem definida precisamos de x\ge 0.
  • \sqrt{4}=2.
    A tarefa é escrever a mesma fração em forma equivalente cujo denominador não contenha raízes (ou seja, sem \sqrt{\cdot} no denominador).

Passo 2

Ideia do método (conjugado): para eliminar raízes no denominador que é uma soma do tipo \sqrt{x}+2, usamos o conjugado, que é \sqrt{x}-2.
Propriedade útil (diferença de quadrados):
(a+b)(a-b)=a^2-b^2,
ou seja, multiplicando uma soma pelo seu conjugado obtemos a diferença dos quadrados, que normalmente elimina as raízes porque (\sqrt{x})^2=x.

Passo 3

Primeiro simplificamos a constante no denominador:
\frac{2}{\sqrt{x}+\sqrt{4}}=\frac{2}{\sqrt{x}+2}.
Agora multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado \sqrt{x}-2 (isto é multiplicar por 1 escrito como \dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-2}):
\frac{2}{\sqrt{x}+2}\cdot\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-2} = \frac{2(\sqrt{x}-2)}{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-2)}.

Passo 4

Calculamos o denominador usando a diferença de quadrados:
(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-2)=(\sqrt{x})^2-2^2=x-4.
O numerador fica
2(\sqrt{x}-2)=2\sqrt{x}-4.
Portanto obtemos a forma racionalizada
\frac{2(\sqrt{x}-2)}{x-4}
ou, expandindo o numerador,
\frac{2\sqrt{x}-4}{x-4}.

Passo 5

Nota sobre domínios e equivalência: a expressão original está definida para x\ge 0 e, para esses x, \sqrt{x}+2>0 (portanto o denominador original nunca é zero). Ao multiplicar por \dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-2} introduzimos uma expressão que não está definida em x=4 (porque aí \sqrt{x}-2=0), então a forma racionalizada \dfrac{2(\sqrt{x}-2)}{x-4} é algebraicamente equivalente à original para todo x\ge0 com x\neq4. No ponto x=4 a fração original vale \dfrac{2}{2+2}=\dfrac{1}{2}, enquanto a forma racionalizada aparece como indeterminada 0/0. Portanto, quando for preciso especificar igualdade de funções, afirmar equivalência para x\ge0,\\ x\neq4.

Resposta

\dfrac{2(\sqrt{x}-2)}{x-4}

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