Use a regra da cadeia para obter
e
:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Nós queremos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
usando a regra da cadeia. A função dada é:
onde:
Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra da cadeia em cálculo multivariável, que nos ajuda a encontrar derivadas quando temos funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a regra da cadeia. Ela nos permite calcular a derivada de uma função composta. No nosso caso,
depende de
e
, que por sua vez dependem de
e
. Então, para encontrar
e
, vamos derivar
em relação a
e
, e depois multiplicar pelas derivadas de
e
em relação a
e
.
Passo 3
Vamos começar calculando as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Aqui, usamos a derivada de
que é
e a regra do sinal para
.
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
e
:
Para :
Para
Para
:
Passo 5
Agora, aplicamos a regra da cadeia para encontrar
:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Passo 6
Da mesma forma, aplicamos a regra da cadeia para encontrar
:
Substituindo:
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais são: