Use a regra da cadeia para obter partial zpartial s e partial zpartial t :
z=raizx-y, x=s^2+t^2 e y=1-2 s t.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Nós queremos encontrar as derivadas parciais de z em relação a s e t usando a regra da cadeia. A função dada é:
z = raizx - y
onde:
x = s^2 + t^2
y = 1 - 2st
Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra da cadeia em cálculo multivariável, que nos ajuda a encontrar derivadas quando temos funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a regra da cadeia. Ela nos permite calcular a derivada de uma função composta. No nosso caso, z depende de x e y , que por sua vez dependem de s e t . Então, para encontrar partial zpartial s e partial zpartial t , vamos derivar z em relação a x e y , e depois multiplicar pelas derivadas de x e y em relação a s e t .

Passo 3

Vamos começar calculando as derivadas parciais de z em relação a x e y :
partial zpartial x = 12raizx - y
partial zpartial y = -12raizx - y
Aqui, usamos a derivada de raizu que é 12raizu e a regra do sinal para y .

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas de x e y em relação a s e t :
Para x = s^2 + t^2 :
partial xpartial s = 2s
partial xpartial t = 2t
Para y = 1 - 2st :
partial ypartial s = -2t
partial ypartial t = -2s

Passo 5

Agora, aplicamos a regra da cadeia para encontrar partial zpartial s :
partial zpartial s = partial zpartial x cdot partial xpartial s + partial zpartial y cdot partial ypartial s
Substituindo os valores que encontramos:
partial zpartial s = 12raizx - y cdot 2s + (-12raizx - y) cdot (-2t)
Simplificando:
partial zpartial s = s + traizx - y

Passo 6

Da mesma forma, aplicamos a regra da cadeia para encontrar partial zpartial t :
partial zpartial t = partial zpartial x cdot partial xpartial t + partial zpartial y cdot partial ypartial t
Substituindo:
partial zpartial t = 12raizx - y cdot 2t + (-12raizx - y) cdot (-2s)
Simplificando:
partial zpartial t = t + sraizx - y

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial s = s + traizx - y
partial zpartial t = t + sraizx - y

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