Suponha que ( Xn: n in N ) é uma sequência de variáveis aleatórias independentes. Então a sigma álgebra caudal T de ( Y ) contém somente eventos de probabilidade 0 ou 1.
Mais ainda, toda variável aleatória mensurável com respeito a T é constante quase certamente.
Dica: A parte inicial é análoga a demonstração do Teorema 0-1 de Kolmogorov. Para a parte final: se P(Y <= y) variável aleatória mensurável com respeito a T então 0,1 toma valores em P(Y=c)=1, logo c=inf y: P(Y <= y)=1, onde .

Passo 1

Estamos trabalhando com uma sequência de variáveis aleatórias independentes Xn e a σ-álgebra “caudal” (tail) definida por
T = capn=1^infty sigmal(Xn, Xn+1, dotsr)
Queremos mostrar duas coisas: (i) todo evento em T tem probabilidade 0 ou 1 (Teorema 0–1 de Kolmogorov) e (ii) qualquer variável aleatória Y mensurável em relação a T é quase certamente constante.

Passo 2

Para provar o Teorema 0–1, seja Ain T. Defina a σ-álgebra finita
Fm = sigma(X1,dots,Xm)
e observe que, por independência das Xn, temos
Fm ;é independente de; sigma(Xm+1,Xm+2,dots) é
Como Ain T, então Ain sigma(Xm+1,Xm+2,dots) para todo m, de modo que A é independente de cada Fm. Defina
G = Fin sigma(X1,X2,dots):;P(Acap F)=P(A)P(F)
Usando que cada gerador X1,dots,Xm está em G e que G é σ-álgebra, conclui-se G=sigma(X1,X2,dots). Em particular, A é independente de si mesmo, logo
P(A)=P(Acap A)=P(A)^2
e, portanto, P(A)in0,1.

Passo 3

Agora seja Y variável aleatória mensurável em relação a T. Para cada yinR, o evento Y<= y pertence a T, então
P(Y<= y)in0,1
Isso significa que a função de distribuição de Y só toma valores 0 ou 1, ou seja, existe
c = infy:,P(Y<= y)=1
tal que P(Y<= c)=1 e para todo y, P(Y<= y)=0. Daí
P(Y=c)=P(Y<= c)-limyuparrow cP(Y<= y)=1-0=1,
logo Y=c quase certamente.

Resposta

(i) Qualquer evento em T tem probabilidade 0 ou 1. (ii) Toda variável aleatória mensurável em relação a T é quase certamente constante.

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