Suponha que (
) é uma sequência de variáveis aleatórias independentes. Então a
álgebra caudal
de (
) contém somente eventos de probabilidade 0 ou 1.
Mais ainda, toda variável aleatória mensurável com respeito a T é constante quase certamente.
Dica: A parte inicial é análoga a demonstração do Teorema 0-1 de Kolmogorov. Para a parte final: se
variável aleatória mensurável com respeito a T então
toma valores em
, logo
, onde
.
Mais ainda, toda variável aleatória mensurável com respeito a T é constante quase certamente.
Dica: A parte inicial é análoga a demonstração do Teorema 0-1 de Kolmogorov. Para a parte final: se
Passo 1
Estamos trabalhando com uma sequência de variáveis aleatórias independentes
e a σ-álgebra “caudal” (tail) definida por
Queremos mostrar duas coisas: (i) todo evento em
tem probabilidade 0 ou 1 (Teorema 0–1 de Kolmogorov) e (ii) qualquer variável aleatória
mensurável em relação a
é quase certamente constante.
Passo 2
Para provar o Teorema 0–1, seja
. Defina a σ-álgebra finita
e observe que, por independência das
, temos
Como
, então
para todo
, de modo que
é independente de cada
. Defina
Usando que cada gerador
está em
e que
é σ-álgebra, conclui-se
. Em particular,
é independente de si mesmo, logo
e, portanto,
.
Passo 3
Agora seja
variável aleatória mensurável em relação a
. Para cada
, o evento
pertence a
, então
Isso significa que a função de distribuição de
só toma valores 0 ou 1, ou seja, existe
tal que
e para todo
,
. Daí
logo
quase certamente.
Resposta
(i) Qualquer evento em
tem probabilidade 0 ou 1. (ii) Toda variável aleatória mensurável em relação a
é quase certamente constante.