Se R é o raio médio da órbita de um planeta X, e T é o período de revolução em torno do Sol, a 3^{\circ} lei de Kepler estabelece que T^{2}=C \cdot R^{3}, onde C é uma constante de proporcionalidade, válida para todos os planetas de nosso sistema solar. Suponha que a distância média do planeta X ao Sol é 4 vezes a distância média da Terra ao Sol.
Podemos concluir que o período do planeta X é, em anos:
a) 2
b) 4
c) 8
d) 16

Passo 1

O enunciado diz que, pela terceira lei de Kepler, o período de revolução T e o raio médio da órbita R satisfazem
T^{2} = C \cdot R^{3},
onde C é constante para todos os planetas. Sabemos que a Terra tem período T_{\mathrm{E}}=1 ano e raio médio R_{\mathrm{E}}. O planeta X tem raio médio R_{X}=4R_{\mathrm{E}}. Queremos achar T_{X} em anos.

Passo 2

Aplicamos a lei de Kepler para o planeta X:
T_{X}^{2} = C \cdot R_{X}^{3} = C \cdot (4R_{\mathrm{E}})^{3} = C \cdot 64\,R_{\mathrm{E}}^{3} = 64\,(C\,R_{\mathrm{E}}^{3}).
Por outro lado, para a Terra vale
T_{\mathrm{E}}^{2} = C\,R_{\mathrm{E}}^{3} \quad\Longrightarrow\quad C\,R_{\mathrm{E}}^{3} = T_{\mathrm{E}}^{2} = 1^{2} = 1.

Passo 3

Substituindo C\,R_{\mathrm{E}}^{3}=1 em T_{X}^{2}=64\,(C\,R_{\mathrm{E}}^{3}), obtemos
T_{X}^{2} = 64 \quad\Longrightarrow\quad T_{X} = \sqrt{64} = 8.

Resposta

c) 8

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