Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação envolvendo radicais: x + \sqrt{x} + \sqrt{x+2} + \sqrt{x^{2} + 2x} = 3. O conteúdo é manipulação de radicais e verificação de domínio, e vamos precisar usar substituições que facilitem o fatoramento e depois resolver uma equação algébrica.
Passo 2
Primeiro, analisamos o domínio dos radicais. Para \sqrt{x} precisamos de x \ge 0; para \sqrt{x+2} precisamos de x+2 \ge 0, ou seja, x \ge -2; e para \sqrt{x^{2}+2x}=\sqrt{x(x+2)} precisamos de x \in [0,\infty) ou x \in (-\infty,-2]. A intersecção com as outras condições dá x \ge 0.
Passo 3
Para simplificar, fazemos a substituição
e
. Assim temos x = a^{2}, b^{2} = a^{2} + 2 e também \sqrt{x^{2}+2x} = \sqrt{a{2}(a{2}+2)} = a,b.
Passo 4
Substituindo na equação original, obtemos
Observe que podemos agrupar como
Passo 5
Agora escrevemos b em função de a:
. Então a equação fica
Passo 6
Isolamos o termo com raiz e elevamos ao quadrado. Primeiro:
Passo 7
Como o lado direito deve ser não negativo, mantemos a condição
. Elevando ao quadrado:
Passo 8
Expandindo e simplificando, chega-se à equação quadrática
Passo 9
Resolvendo, obtemos as raízes
. A única raiz não negativa é
, que de fato satisfaz a equação original antes de elevar ao quadrado.
Passo 10
Voltando à variável x, temos x = a^{2} = \bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^{2} = \tfrac{1}{4}. Fizemos uma verificação final substituindo de volta na equação inicial e confirmamos que dá 3.
Passo 11
Portanto, a única solução real que respeita o domínio é x = \tfrac{1}{4}.
Resposta
x = \tfrac{1}{4}