x+raizx+raizx+2+raizx^2+2 x=3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação envolvendo radicais: x + \sqrt{x} + \sqrt{x+2} + \sqrt{x^{2} + 2x} = 3. O conteúdo é manipulação de radicais e verificação de domínio, e vamos precisar usar substituições que facilitem o fatoramento e depois resolver uma equação algébrica.

Passo 2

Primeiro, analisamos o domínio dos radicais. Para \sqrt{x} precisamos de x \ge 0; para \sqrt{x+2} precisamos de x+2 \ge 0, ou seja, x \ge -2; e para \sqrt{x^{2}+2x}=\sqrt{x(x+2)} precisamos de x \in [0,\infty) ou x \in (-\infty,-2]. A intersecção com as outras condições dá x \ge 0.

Passo 3

Para simplificar, fazemos a substituição a = raizx e b = raizx+2. Assim temos x = a^{2}, b^{2} = a^{2} + 2 e também \sqrt{x^{2}+2x} = \sqrt{a{2}(a{2}+2)} = a,b.

Passo 4

Substituindo na equação original, obtemos
(a^2) + a + b + a b = 3
Observe que podemos agrupar como
a^2 + a + b + a b = (a+1)(a+b) = 3

Passo 5

Agora escrevemos b em função de a: b = raiza^2+2. Então a equação fica
(a+1)l(a + raiza^2+2r) = 3

Passo 6

Isolamos o termo com raiz e elevamos ao quadrado. Primeiro:
(a+1)raiza^2+2 = 3 - (a^2 + a)

Passo 7

Como o lado direito deve ser não negativo, mantemos a condição 0 <= a <= tfracraiz13-12. Elevando ao quadrado:
(a+1)^2(a^2+2) = [3 - a^2 - a]^2

Passo 8

Expandindo e simplificando, chega-se à equação quadrática
8a^2 + 10a - 7 = 0

Passo 9

Resolvendo, obtemos as raízes a = tfrac-10 pm raiz100 + 22416 = tfrac-10 pm 1816. A única raiz não negativa é a = tfrac12, que de fato satisfaz a equação original antes de elevar ao quadrado.

Passo 10

Voltando à variável x, temos x = a^{2} = \bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^{2} = \tfrac{1}{4}. Fizemos uma verificação final substituindo de volta na equação inicial e confirmamos que dá 3.

Passo 11

Portanto, a única solução real que respeita o domínio é x = \tfrac{1}{4}.

Resposta

x = \tfrac{1}{4}

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