Para as n raízes n-ésimas da unidade especificadas no Problema 21, mostre que
1+wn+wn^2+wn^3+cdots+wn^n-1=0
[Sugestão: multiplique a soma 1+wn+wn^2+wn^3+cdots+wn^n-1 por wn-1.]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a soma das potências de uma raiz primitiva n-ésima da unidade é zero, ou seja, para wn tal que wn^n=1 e wnneq1, provar que
1 + wn + wn^2 + cdots + wn^n-1 = 0
O conteúdo aqui é a soma de uma progressão geométrica e vamos precisar usar a propriedade wn^n=1 e a técnica de multiplicar a soma por wn - 1.

Passo 2

Definimos
S = 1 + wn + wn^2 + cdots + wn^n-1
Multiplicando ambos os lados por wn - 1, obtemos
(wn - 1)S = (wn - 1)(1 + wn + wn^2 + cdots + wn^n-1)
Ao distribuir, todos os termos internos se cancelam em cascata, sobrando apenas
(wn - 1)S = wn^n - 1

Passo 3

Como wn^n = 1 pela definição de raiz n-ésima da unidade, o lado direito vira zero. Logo
(wn - 1)S = 1 - 1 = 0
E como escolhemos wn neq 1, temos wn - 1 neq 0, de modo que
S = 0

Resposta

0

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