Para as
raízes
-ésimas da unidade especificadas no Problema 21, mostre que
[Sugestão: multiplique a soma
por
.]
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a soma das potências de uma raiz primitiva n-ésima da unidade é zero, ou seja, para
tal que
e
, provar que
O conteúdo aqui é a soma de uma progressão geométrica e vamos precisar usar a propriedade
e a técnica de multiplicar a soma por
.
Passo 2
Definimos
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos
Ao distribuir, todos os termos internos se cancelam em cascata, sobrando apenas
Passo 3
Como
pela definição de raiz n-ésima da unidade, o lado direito vira zero. Logo
E como escolhemos
, temos
, de modo que
Resposta
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