Verifique se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente, justificando sua resposta:
sumn=0^infty n+2(n+1)^3

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos a série sumn=0^infty n+2(n+1)^3. O conteúdo aqui é séries numéricas e vamos usar o teste de comparação (mais precisamente o teste da comparação em limite) com uma p-série.

Passo 2

Observação do termo geral e escolha da série comparável: Para grandes n, o termo geral an=n+2(n+1)^3 se comporta como nn^3=1n^2. Logo, escolhemos a p-série sum 1n^2, que sabemos convergir pois p=2>1.

Passo 3

Aplicação do teste de comparação em limite: Definimos bn=1(n+1)^2. Calculamos o limite
L=limntoinftyanbn =limntoinftyn+2(n+1)^31(n+1)^2 =limntoinftyn+2n+1=1
Como 0 e sum bn é convergente, concluímos que sum an também converge.

Resposta

A série sumn=0^infty n+2(n+1)^3 é convergente.

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