Verifique se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente, justificando sua resposta:
sumn=1^infty 1(arctan n)^n

Passo 1

O enunciado nos dá a série sumn=1^infty 1(arctan n)^n. O conteúdo é séries numéricas e vamos usar o critério da raiz para testar a convergência.

Passo 2

O critério da raiz para uma série de termos não-negativos (an) afirma que devemos calcular
L = limsupntoinfty raiz[n]an
Se L<1 a série converge absolutamente; se L>1 diverge; se L=1 o teste é inconclusivo.
Aqui temos an = 1(arctan n)^n. Vamos calcular
raiz[n]an = raiz[n]1(arctan n)^n = 1arctan n

Passo 3

Agora avaliamos o limite
limntoinfty 1arctan n = 1pi/2 = 2pi < 1
Portanto, pelo critério da raiz, L = 2/pi <1 implica convergência absoluta da série.

Passo 4

Como a série converge absolutamente, concluímos que a série original é convergente.

Resposta

A série converge.

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