Verifique se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente, justificando sua resposta:
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente. Esse é um problema de séries numéricas, e a ideia principal será comparar com uma p-série do tipo
.
Passo 2
Primeiro, noto que para todo
vale
. Logo, temos a desigualdade
Passo 3
Como sabemos que a p-série
converge (pois
), podemos multiplicá-la por
sem alterar sua convergência. Ou seja,
Passo 4
Pela comparação direta, como
e a série maior converge, concluímos que a série original também converge. Isso nos garante convergência absoluta.
Passo 5
Opcionalmente, poderíamos usar o critério da comparação limite: calcular
$$\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{\arctan n}{n{2}}}{\frac{1}{n{2}}}=\lim_{n\to\infty}\arctan n=\frac{\pi}{2}\neq0,
$$
e, como a série converge, a nossa converge também.
e, como a série
Resposta
Convergente (convergência absoluta).