Verifique se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente, justificando sua resposta:
sumn=2^infty arctan nn^2

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série sumn=2^infty arctan nn^2 é convergente ou divergente. Esse é um problema de séries numéricas, e a ideia principal será comparar com uma p-série do tipo sum 1/n^p.

Passo 2

Primeiro, noto que para todo n>=2 vale 0. Logo, temos a desigualdade
0

Passo 3

Como sabemos que a p-série sumn=2^infty1n^2 converge (pois p=2>1), podemos multiplicá-la por pi/2 sem alterar sua convergência. Ou seja,
sumn=2^inftypi/2n^2=pi2sumn=2^infty1n^2

Passo 4

Pela comparação direta, como 0<= arctan nn^2<= pi/2n^2 e a série maior converge, concluímos que a série original também converge. Isso nos garante convergência absoluta.

Passo 5

Opcionalmente, poderíamos usar o critério da comparação limite: calcular
$$\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{\arctan n}{n{2}}}{\frac{1}{n{2}}}=\lim_{n\to\infty}\arctan n=\frac{\pi}{2}\neq0,
$$
e, como a série limntoinftyarctan nn^21n^2=limntoinftyarctan n=pi2neq0, converge, a nossa converge também.

Resposta

Convergente (convergência absoluta).

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