5.2 Num ralo de pia, o diâmetro passa de D_{1}=30 \mathrm{~mm} para D_{2}=20 \mathrm{~mm}. Se a velocidade em D_{1} é 0,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, qual é em D_{2} ?

Passo 1

O enunciado diz que em um ralo o diâmetro do cano muda de \,D_{1}=30\text{ mm} para \,D_{2}=20\text{ mm} e que a velocidade do fluido em D_{1} é \,v_{1}=0{,}5\text{ m/s}. O conteúdo usado aqui é a equação de continuidade para escoamento incompressível e permanente, que garante que a vazão volumétrica se conserva.

Passo 2

A equação de continuidade é
A_{1}\,v_{1} \;=\; A_{2}\,v_{2},
onde A_{i} é a área da seção e v_{i} a velocidade no trecho i. Vamos usar isso para encontrar v_{2}.

Passo 3

A área de uma seção circular de diâmetro D é
A \;=\; \frac{\pi\,D^{2}}{4}.
Assim,
A_{1} = \frac{\pi\,D_{1}^{2}}{4}, \quad A_{2} = \frac{\pi\,D_{2}^{2}}{4}.
Como o \pi/4 se cancela na razão, basta usar
\frac{A_{1}}{A_{2}} = \frac{D_{1}^{2}}{D_{2}^{2}}.

Passo 4

Isolando v_{2} em A_{1}v_{1}=A_{2}v_{2}, temos
v_{2} = \frac{A_{1}}{A_{2}}\,v_{1} = \frac{D_{1}^{2}}{D_{2}^{2}}\,v_{1}.
Substituindo D_{1}=30\text{ mm}, D_{2}=20\text{ mm} (podemos usar as mesmas unidades porque é uma razão) e v_{1}=0{,}5\text{ m/s}:
\frac{D_{1}^{2}}{D_{2}^{2}} = \biggl(\frac{30}{20}\biggr)^{2} = \bigl(1{,}5\bigr)^{2} =2{,}25,
então
v_{2} = 2{,}25 \times 0{,}5 = 1{,}125\text{ m/s}.

Resposta

A velocidade em D_{2} é 1{,}125\text{ m/s}.

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