A série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin (n)}{n} converge ou diverge? Use o teste da divergência.

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(n)}{n}
e pede para usar o teste da divergência. Nesse teste, calculamos
\lim_{n\to\infty}a_n,
onde a_n=\frac{\sin(n)}{n}. Se esse limite for diferente de zero, a série diverge; se for zero, o teste é inconclusivo.

Passo 2

Calculamos o limite do termo geral:
\lim_{n\to\infty}\frac{\sin(n)}{n}.
Como \sin(n) está sempre entre -1 e 1 e n\to\infty, segue que
\lim_{n\to\infty}\frac{\sin(n)}{n}=0.

Passo 3

Como
\lim_{n\to\infty}a_n=0,
o teste da divergência não detecta divergência. Logo, ele é inconclusivo e não permite afirmar se a série converge ou diverge.

Resposta

O teste da divergência é inconclusivo; não é possível decidir a convergência ou divergência apenas com ele.

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