Na reação d+d p+t, cujo fator Q é de 4 MeV (Seç. 9.7), tem-se um feixe de d de 3 MeV incidente sobre um alvo contendo d em repouso. Tome as massas como sendo mp=1 u.m.a. (unidade de massa atômica), md=2 u.m.a. e mt=3 u.m.a. Qual é a energia (em MeV) dos p emergentes a 45^circ da direção de incidência?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício pede. Temos a reação
d + d ;longrightarrow; p + t
com fator-Q de 4 MeV. Um feixe de deutérios (d) com energia de 3 MeV incide sobre deutérios em repouso. As massas são dadas em unidades atômicas (u):
md = 2,, mp = 1,, mt = 3;
O que a gente quer é a energia dos prótons § que saem num ângulo de 45° em relação à direção do feixe.
Conteúdo: cinemática relativista não-relativística (não muito veloz), conservação de energia e momento e uso do sistema centro-de-massa (CM). Vamos precisar:
  1. achar a velocidade do CM;
  2. achar o momento das partículas no CM após a reação;
  3. fazer a “soma de velocidades” para voltar ao referencial do laboratório e relacionar o ângulo CM com o ângulo no laboratório;
  4. obter a energia cinética do próton no laboratório.

Passo 2

Calcular energia e velocidade do centro-de-massa.
  1. Energia cinética no CM antes da reação:
Erm CM = Erm lab,m2m1+m2 =3,22+2 =1,5;MeV
  1. Velocidade do CM (em unidades de c):
p1,rm lab = raiz2,m1,Erm lab Rightarrow vrm CM = p1,rm labm1+m2 = raiz2,m1,Erm labm1+m2,
Numérico (1 u ≃ 931,5 MeV/ m1=2,uto1863;MeV/c^2, p1,rm lab=raiz2cdot1863cdot3approx105,8;MeV/c, ):
vrm CMapprox105,8(2+2),931,5,capprox0,02837,c

Passo 3

Energia disponível no CM após a reação:
E'rm CM = Erm CM+Q = 1,5 + 4 = 5,5;MeV
Momento absoluto no CM (as partículas saem “de costas” uma da outra):
mu = m3,m4m3+m4 =1cdot31+3u=0,75,uto698,6;MeV/c^2,
prm CM = raiz2,mu,E'rm CM = raiz2cdot698,6cdot5,5approx87,66;MeV/c
Velocidade do próton no CM:
v3,rm CM = prm CMm3 = 87,66931,5,capprox0,09413,c

Passo 4

Relacionar o ângulo CM ( tanthetarm lab =v3,rm CMsinphiv3,rm CMcosphi+vrm CM com thetarm lab=45^circ;(=1) ) com o ângulo no laboratório ( v3,rm CMsinphi = v3,rm CMcosphi + vrm CM ;Longrightarrow; sinphi - cosphi = vrm CMv3,rm CM approx0,028370,09413approx0,3015 ).
Quando a gente soma vetorialmente
raiz2,sin(phi-45^circ)=0,3015 ;Rightarrow; phi-45^circapprox12,3^circ ;Rightarrow; phiapprox57,3^circ ,
o ângulo lab satisfaz
Então
Como ,

Passo 5

Agora montamos o módulo da velocidade no laboratório:
v3,rm lab^2 = vrm CM^2 + v3,rm CM^2 + 2,vrm CM,v3,rm CMcosphi
Numericamente:
vrm CM^2approx0,000805,; v3,rm CM^2approx0,008861,; 2vrm CMv3,rm CMcosphiapprox0,002892,
v3,rm lab^2approx0,012558 ;Rightarrow; v3,rm labapprox0,11209,c
Energia cinética do próton no laboratório:
E3,rm lab =tfrac12,m3,v3,rm lab^2 =tfrac12,(1,u),c^2,(0,012558) approx465,75cdot0,012558 approx5,85;MeV

Resposta

A energia dos prótons emergentes a 45° é cerca de 5,85 MeV.

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