A reação elementar A+B \rightleftarrows C+D é conduzida em uma série de reatores com resfriamento interestágio. A temperatura mais baixa à qual a corrente reagente pode ser resfriada é 27^{\circ} \mathrm{C}. A alimentação é equimolar em A e B e é possível alcançar 99 \% da conversão de equilíbrio em cada reator. A alimentação entra a 27^{\circ} \mathrm{C} e a reação é conduzida adiabaticamente. Se quatro reatores e três resfriadores estiverem disponíveis, que conversão poderá ser alcançada? Represente a solução graficamente.
Dados:
\begin{aligned} & \Delta H_{R}=-30.000 \mathrm{cal} / \mathrm{mol}_{\mathrm{A}} \\ & \widetilde{C_{P_{A}}}=\widetilde{C_{P_{B}}}=\widetilde{C_{P_{C}}}=\widetilde{C_{P_{D}}}=25 \mathrm{cal} /(\mathrm{mol} . \mathrm{K}) \\ & F_{A}^{0}=10 \mathrm{~mol} / \mathrm{min} \\ & K_{e q}\left(50^{\circ} \mathrm{C}\right)=500.000 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado trata de uma reação elementar A+B\rightleftarrows C+D conduzida em quatro reatores adiabáticos em série, com resfriamento até 27^\circ\mathrm C entre cada par de reatores. A alimentação é equimolar em A e B. Em cada reator alcança-se 99\% da conversão de equilíbrio correspondente à condição de entrada no reator. Nosso objetivo é estimar a conversão global após os quatro estágios, usando balanço de energia adiabático e expressão de equilíbrio térmico. Precisamos de
  1. Expressão de K_p(T) via van’t Hoff, sabendo K_p(323\mathrm K)=5\times10^5 e \Delta H_R=-30000 cal/mol;
  2. Fórmula da conversão de equilíbrio \displaystyle X_{eq}(T)=\frac{\sqrt{K_p(T)}}{1+\sqrt{K_p(T)}};
  3. Balanço de energia adiabático para mistura equimolar (constante C_{P,tot}).

Passo 2

Cálculo de K_p(T). Da van’t Hoff integrad a:
\ln K_p(T) =\ln K_p(323) -\frac{\Delta H_R}{R}\Bigl(\frac1T-\frac1{323}\Bigr).
Com \Delta H_R=-30000,cal/mol e R=1{,}987,cal/mo l\cdot K, define-se
\ln K_p(T) =13{,}122-\Bigl(-\frac{30000}{1{,}987}\Bigr)\Bigl(\frac1T-\frac1{323}\Bigr) =59{,}86-\frac{15091}{T}.

Passo 3

Conversão de equilíbrio em função de T:
X_{eq}(T) =\frac{\sqrt{K_p(T)}}{1+\sqrt{K_p(T)}}, \quad\text{com}\quad \sqrt{K_p(T)}=\exp\!\bigl[\tfrac12\,(59{,}86-\tfrac{15091}{T})\bigr].

Passo 4

Balanço de energia adiabático com calor de reação e Cp total. Como há sempre 2 mol totais e C_p=25,cal/(mo l\cdot K) para cada espécie,
\Delta T_{\mathrm ad} =\frac{-\Delta H_R\;X}{2\cdot25} =\frac{30000\,X}{50} =600\,X\quad(\text{em K}),
isto é, se o reator parte de T_0, sai a
T_{\mathrm out}=T_0+60\,X.

Passo 5

Estágio 1: entrada a T_0=300 K e X_{in}=0. No reator consumimos até 99\% de X_{eq}(T_{\mathrm out}). Chamando X_1 a conversão na saída do reator 1 e T_1=300+60X_1, impomos
X_1=0{,}99\,X_{eq}(T_1).
Fazendo iteração numérica rápida, obtém-se
X_1\approx0{,}99,\quad T_1\approx300+60\cdot0{,}99\approx359{,}4\mathrm{\,K}.

Passo 6

Após o resfriador volta-se a 300 K, mas com frações remanescentes de A e B. No segundo reator a conversão máxima de equilíbrio (novamente dada pela fórmula de X_{eq}(300)\approx0{,}992) permite apenas um incremento muito pequeno
\Delta X_2^{\max} =X_{eq}(300)-X_1\approx0{,}992-0{,}99=0{,}002.
Como alcançamos 99\% desse incremento:
\Delta X_2=0{,}99\cdot0{,}002\approx0{,}002, \quad X_2=X_1+\Delta X_2\approx0{,}992.

Passo 7

Nos estágios 3 e 4, a conversão de equilíbrio a 300 K continua \approx0{,}992, mas como já estamos em X_2\approx0{,}992, não há mais avanço significativo \Delta X_3\approx\Delta X_4\approx0.

Passo 8

Portanto a conversão global após os quatro reatores é
X_{\mathrm total}\approx X_2\approx0{,}992,
ou seja cerca de 99{,}2\%.

Resposta

A conversão alcançada é aproximadamente 99{,}2\%.
Gráfico: desenhe a curva de X_{eq}(T) versus T e sobreponha as trajetórias adiabáticas partindo de T=300 K até T\approx359 K (1.º reator), depois descendo a 300 K (resfriador), quase vertical nos demais estágios, demonstrando o pequeno ganho de conversão.

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